x² – 4x – 1 = 0 解方程

这个问题让我们来解决一个二次方程：x² – 4x – 1 = 0。 解二次方程有很多方法，让我们一起来看看几种常用的策略。

1. 公式法 (万能钥匙)

公式法，也称为求根公式，是解决二次方程的终极武器，任何二次方程，只要有解，它都能搞定！ 对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

在本题中，a = 1, b = -4, c = -1。 代入公式，我们得到：

x = (4 ± √((-4)² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)
x = (4 ± √(16 + 4)) / 2
x = (4 ± √20) / 2
x = (4 ± 2√5) / 2
x = 2 ± √5

所以，方程的两个解是：x₁ = 2 + √5 和 x₂ = 2 – √5。

2. 配方法 (庖丁解牛)

配方法是一种通过巧妙变形，将二次方程转化为完全平方形式来求解的方法。 它的核心思想是：将一个二次三项式 ax² + bx + c 配成 a(x + m)² + n 的形式。

回到我们的方程 x² – 4x – 1 = 0。 首先，我们关注 x² – 4x 这部分，想要把它配成一个完全平方项。

• 观察：(x – 2)² = x² – 4x + 4。 所以，我们需要在原方程两边同时加上 4：

x² – 4x + 4 – 1 = 4
(x – 2)² = 5

• 然后，两边同时开平方：

x – 2 = ±√5

• 最后，解出 x：

x = 2 ± √5

是不是和公式法的结果一样？ 配方法的关键在于找到需要添加的常数，将一部分式子“配”成完全平方项。

3. 图解法 (形象直观 – 仅作辅助理解)

虽然不能精确解出答案，但我们可以通过图像来大致估计解的位置。 将方程 x² – 4x – 1 = 0 看作函数 y = x² – 4x – 1。 我们需要找到的是 y = 0 时，x 的取值，也就是函数图像与 x 轴的交点。

• 绘制图像： 这个函数是一个开口向上的抛物线。 我们可以通过一些关键点来绘制图像。

  • 对称轴：x = -b / 2a = 4 / 2 = 2
  • 顶点：将 x = 2 代入函数，得到 y = 2² – 4 * 2 – 1 = -5。 所以顶点是 (2, -5)
  • 与 y 轴交点：将 x = 0 代入函数，得到 y = -1。 所以与 y 轴交点是 (0, -1)

• 观察交点： 通过图像，我们可以观察到图像与 x 轴有两个交点，一个在 0 和 1 之间，另一个在 3 和 4 之间。 这与我们公式法和配方法得到的解 (大约是 -0.236 和 4.236) 大致吻合。

总结

我们通过三种方法：公式法，配方法，以及图解法，来解决方程 x² – 4x – 1 = 0。公式法最直接，配方法更灵活，图解法更直观。 在实际应用中，根据问题的特点选择合适的解决方法才能事半功倍！ 记住，熟练掌握公式法总是没错的！