好的，我们来聊聊这个方程：(x – 1)² = 4。

直观理解：这是什么意思？

首先，我们要理解这个方程描述的是什么。它说的是，有一个数，我们先用 x 来代表它。然后，我们从这个数里减去 1，再把得到的结果平方，最终结果是 4。

解法一：直接开平方

最直接的办法就是逆向操作。既然最终结果是平方得到的，那我们就把 4 开平方，看看平方之前是什么。

4 的平方根是 ±2 (正2和负2，因为2² = 4, 且 (-2)² = 4)。

所以，我们可以得到两个等式：

• x – 1 = 2
• x – 1 = -2

接下来，分别解这两个简单的一元一次方程：

• 如果 x – 1 = 2，那么 x = 2 + 1 = 3
• 如果 x – 1 = -2，那么 x = -2 + 1 = -1

因此，方程的两个解是：x = 3 和 x = -1。

解法二：展开，变成二次方程

我们也可以把 (x – 1)² 展开：

(x – 1)² = (x – 1) * (x – 1) = x² – 2x + 1

所以原方程就变成了：

x² – 2x + 1 = 4

把等式右边的 4 移到左边，得到：

x² – 2x – 3 = 0

现在我们得到一个标准形式的二次方程。我们可以使用几种方法来解它：

• 因式分解： 我们要找到两个数，它们的乘积是 -3，和是 -2。这两个数是 -3 和 1。所以我们可以把方程写成：(x – 3)(x + 1) = 0

  那么，x – 3 = 0 或者 x + 1 = 0。

  解得 x = 3 或者 x = -1。

• 二次公式： 对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，二次公式是：

  x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

  在这个例子里，a = 1, b = -2, c = -3。代入公式：

  x = (2 ± √((-2)² – 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)
  x = (2 ± √(4 + 12)) / 2
  x = (2 ± √16) / 2
  x = (2 ± 4) / 2

  所以，x = (2 + 4) / 2 = 3 或者 x = (2 – 4) / 2 = -1。

几何意义

可以这样想：(x – 1) 代表数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离（如果 x > 1，就是 x – 1；如果 x < 1, 就是 1-x, 但平方后结果一样)。方程 (x – 1)² = 4 的意思是，存在一些点 x ，它们到 1 这个点的距离的平方等于 4，或者说距离等于 2 。 那么，在数轴上， 距离1 这个点距离为2 的点有两个，分别是 1+2 = 3 和 1-2 = -1 。

检验答案

为了确保我们没有犯错，我们把两个解代回原方程：

• 当 x = 3 时：(3 – 1)² = 2² = 4。正确！
• 当 x = -1 时：(-1 – 1)² = (-2)² = 4。正确！

总结

方程 (x – 1)² = 4 有两个解：x = 3 和 x = -1。 我们可以通过直接开平方或者展开成二次方程，再用因式分解或二次公式来求解。 并且可以通过几何意义来理解这两个解在数轴上的位置。