x² – 4x – 5 = 0 怎么解？

解决这个一元二次方程，我们有多种方法可以“降妖伏魔”，最终找到潜藏在其中的解。下面我们就来一一揭秘：

方法一：分解因式法（简单粗暴，效率高！）

这种方法的核心在于将二次三项式分解成两个一次因式的乘积。如果能快速找到合适的数字，这绝对是最快捷的方式。

1. 观察常数项和一次项系数： 常数项是 -5，一次项系数是 -4。我们需要找到两个数，它们的乘积是 -5，和是 -4。

2. 寻找合适的数： 稍微尝试一下，很容易发现 -5 和 1 符合条件，因为 (-5) * 1 = -5 且 (-5) + 1 = -4。

3. 分解因式： 将方程改写为 (x – 5)(x + 1) = 0

4. 求解： 根据零积性质，如果两个数的乘积为 0，那么至少有一个数为 0。所以：

   • x – 5 = 0 => x = 5
   • x + 1 = 0 => x = -1

因此，方程的解是 x = 5 或 x = -1。

方法二：公式法（万能钥匙，哪里都能开！）

公式法就是直接套用求根公式，适用于任何一元二次方程，永远不用担心分解不出来！

1. 确定系数： 在方程 x² – 4x – 5 = 0 中，a = 1, b = -4, c = -5。

2. 代入求根公式： 求根公式是：

   x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

   将 a, b, c 的值代入公式：

   x = (4 ± √((-4)² – 4 * 1 * -5)) / (2 * 1)

   x = (4 ± √(16 + 20)) / 2

   x = (4 ± √36) / 2

   x = (4 ± 6) / 2

3. 求解：

   • x = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5
   • x = (4 – 6) / 2 = -2 / 2 = -1

所以，方程的解是 x = 5 或 x = -1。

方法三：配方法（化繁为简，步步为营！）

配方法的思想是将二次方程通过配成完全平方的形式，从而简化求解过程。

1. 移项： 将常数项移到方程右边：x² – 4x = 5

2. 配方： 为了将左边配成完全平方，我们需要加上 (b/2)²，其中 b 是 x 的系数。 在这个例子中，b = -4，所以 (b/2)² = (-4/2)² = (-2)² = 4。

   在方程两边同时加上 4：x² – 4x + 4 = 5 + 4

3. 化简： 将左边写成完全平方的形式：(x – 2)² = 9

4. 开平方： 对两边开平方：x – 2 = ±√9 => x – 2 = ±3

5. 求解：

   • x – 2 = 3 => x = 5
   • x – 2 = -3 => x = -1

所以，方程的解是 x = 5 或 x = -1。

总结

三种方法殊途同归，都能够解出 x² – 4x – 5 = 0 的解，即 x = 5 或 x = -1。 在实际应用中，可以根据具体情况选择最方便的方法。如果能一眼看出因式分解的形式，那是最快的；如果实在看不出来，那就用公式法，永远保险。配方法则更像是一种思想，它在更复杂的数学问题中也会有所应用。