x² – 3x – 1 = 0 的解为：

这个问题是一个一元二次方程求解问题，我们有多种方法来找到它的解。

方法一：公式法（万能解法）

一元二次方程的标准形式是 ax² + bx + c = 0。 对于我们的方程 x² – 3x – 1 = 0，我们可以识别出 a = 1, b = -3, c = -1。

公式法利用求根公式直接计算：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

将 a, b, c 的值代入公式：

x = (3 ± √((-3)² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)

x = (3 ± √(9 + 4)) / 2

x = (3 ± √13) / 2

因此，方程有两个解：

• x₁ = (3 + √13) / 2
• x₂ = (3 – √13) / 2

方法二：配方法（理解本质）

配方法通过将二次方程转化为完全平方的形式来求解。

1. 移动常数项： x² – 3x = 1

2. 配方： 为了将左边配成完全平方，我们需要加上 (b/2)²。 在这里，b = -3，所以我们要加上 (-3/2)² = 9/4。

   x² – 3x + 9/4 = 1 + 9/4
   3. 化简：

   (x – 3/2)² = 13/4
   4. 开平方：

   x – 3/2 = ±√(13/4) = ±√13 / 2
   5. 解出x：

   x = 3/2 ± √13 / 2

   x = (3 ± √13) / 2

同样得到两个解：

• x₁ = (3 + √13) / 2
• x₂ = (3 – √13) / 2

方法三：计算器/软件求解（快速验证）

当然，最简单的方式是直接使用科学计算器或数学软件（例如 Wolfram Alpha, Mathlab, Python 的 sympy 库等）来求解。 输入 solve x^2 - 3x - 1 = 0 即可得到答案。 这种方法适合快速验证结果。

解的近似值：

√13 大约等于 3.606，所以：

• x₁ ≈ (3 + 3.606) / 2 ≈ 3.303
• x₂ ≈ (3 – 3.606) / 2 ≈ -0.303

总结:

无论使用公式法还是配方法，我们都得到相同的解： x = (3 ± √13) / 2。 它们是这个一元二次方程的精确解。 计算机和软件可以快速验证我们的计算结果，并提供近似的数值解。 理解配方法的原理有助于我们更深入地理解一元二次方程的本质。