m² – 2m – 2 = 0，这是一个一元二次方程，求解方法多种多样，我们来逐一分析：
一、公式法（万能钥匙）
这是解决一元二次方程的通用方法，任何一元二次方程都可以用它来解决。 对于一般形式的方程 ax² + bx + c = 0，解为：
m = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
在这个问题中，a = 1，b = -2，c = -2。 代入公式：
m = (2 ± √((-2)² – 4 * 1 * -2)) / (2 * 1)
m = (2 ± √(4 + 8)) / 2
m = (2 ± √12) / 2
m = (2 ± 2√3) / 2
m = 1 ± √3
因此，m 的两个解分别是 m₁ = 1 + √3 和 m₂ = 1 – √3。 它们是两个实数解，而且是无理数。
二、配方法（化腐朽为神奇）
配方法的核心思想是将方程转化为 (m + p)² = q 的形式，然后通过开平方求解。 具体步骤如下：
- 移项： m² – 2m = 2
- 配方： 等式两边同时加上 (b/2a)²，在这个例子中，(b/2a)² = (-2 / (2 * 1))² = (-1)² = 1。
m² – 2m + 1 = 2 + 1 - 化简： (m – 1)² = 3
- 开平方： m – 1 = ±√3
- 解方程： m = 1 ± √3
同样得到 m₁ = 1 + √3 和 m₂ = 1 – √3。 配方法展现了将复杂问题转化为熟悉形式的技巧。
三、图像法（直观理解）
我们可以将方程转化为函数 y = m² – 2m – 2。 求解方程 m² – 2m – 2 = 0 相当于找到函数 y = m² – 2m – 2 的图像与 x 轴的交点。
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绘制图像： y = m² – 2m – 2 是一个开口向上的抛物线。 可以找到其顶点坐标：m = -b / 2a = -(-2) / (2 * 1) = 1。 当 m = 1 时，y = 1² – 2 * 1 – 2 = -3。 所以顶点坐标是 (1, -3)。
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分析交点： 由于顶点在 x 轴下方，且抛物线开口向上，所以抛物线与 x 轴有两个交点。 这两个交点的 x 坐标就是方程的解。
虽然图像法不能精确求出解，但它提供了一个直观的理解，看到解的存在，以及它们大约的位置。 结合函数图像的性质，可以辅助验证公式法和配方法的正确性。
四、近似解法（数值计算）
在某些情况下，我们可能需要求出方程的近似解。 可以使用数值方法，比如二分法或者牛顿迭代法。
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二分法： 先找到两个 m 的值，使得函数值 y = m² – 2m – 2 的符号相反。 例如，当 m = 0 时，y = -2，当 m = 3 时，y = 3² – 2 * 3 – 2 = 1。 说明在 0 和 3 之间存在一个根。 然后不断缩小区间，直到得到满足精度要求的近似解。
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牛顿迭代法： 选择一个初始值 m₀，然后通过迭代公式 mₙ₊₁ = mₙ – f(mₙ) / f'(mₙ) 来逼近方程的解。 其中 f(m) = m² – 2m – 2，f'(m) = 2m – 2。
虽然这些方法无法给出精确解，但在实际工程应用中，近似解往往足够使用。
总结
方程 m² – 2m – 2 = 0 的解为 m₁ = 1 + √3 和 m₂ = 1 – √3。 我们使用了公式法、配方法、图像法和近似解法来分析和求解这个问题。 每种方法都有其特点和适用场景，选择合适的方法可以更有效地解决问题。公式法普适性强，配方法展示了代数技巧，图像法提供了直观理解，近似解法适用于数值计算。理解这些方法的原理和应用能够提升解题能力。