2x的平方减4x减3等于0

让我们深入剖析方程 2x² – 4x – 3 = 0。我们将采用多种方法，从基础到高级，确保你对它有透彻的理解。

1. 观察与简化 (初步)

首先，观察方程。这是一个二次方程，标准形式为 ax² + bx + c = 0。在这里，a = 2，b = -4，c = -3。

我们可以尝试简化方程。如果 a, b, c 有公约数，可以除以公约数简化计算。但2，-4，-3 没有公约数。

2. 配方法 (补全平方)

配方法是一种将二次方程转化为 (x + p)² = q 形式的方法。这有助于我们直接求解 x。

步骤 1: 将 x² 的系数变为 1。将原方程除以 2：

x² – 2x – 3/2 = 0
* 步骤 2: 将常数项移到等式右侧：

x² – 2x = 3/2
* 步骤 3: 配方。为了将左边变成完全平方，我们需要加上 (b/2)²，其中 b 是 x 的系数 (-2)。所以，我们需要加上 (-2/2)² = 1。左右两边同时加 1：

x² – 2x + 1 = 3/2 + 1
* 步骤 4: 将左边写成完全平方的形式，化简右边：

(x – 1)² = 5/2
* 步骤 5: 两边开平方根：

x – 1 = ±√(5/2)
* 步骤 6: 解出 x：

x = 1 ± √(5/2)

为了美观，可以对√(5/2)进行有理化，上下同乘√2：
√(5/2) = √(10/4) = √10 / 2

所以：
x = 1 ± √10 / 2
x = (2 ± √10) / 2

3. 公式法 (万能钥匙)

公式法是解二次方程最常用的方法，直接套用公式即可：

对于 ax² + bx + c = 0，解为：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

在本例中，a = 2，b = -4，c = -3。代入公式：

x = ( -(-4) ± √((-4)² – 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)
x = (4 ± √(16 + 24)) / 4
x = (4 ± √40) / 4
x = (4 ± 2√10) / 4
x = (2 ± √10) / 2

结果与配方法一致。

4. 判别式 (了解根的性质)

判别式 Δ = b² – 4ac 决定了二次方程根的性质。

在本例中，Δ = (-4)² – 4 * 2 * -3 = 16 + 24 = 40 > 0。所以，方程有两个不相等的实数根。这也和我们解出的结果相符。

5. 根与系数的关系 (韦达定理)

韦达定理描述了二次方程的根与系数之间的关系。

对于 ax² + bx + c = 0，设两个根为 x₁ 和 x₂，则：

在本例中：

我们可以利用我们求出的根来验证：

x₁ = (2 + √10) / 2
x₂ = (2 – √10) / 2

x₁ + x₂ = ((2 + √10) / 2) + ((2 – √10) / 2) = (2 + √10 + 2 – √10) / 2 = 4/2 = 2 （验证成功）

x₁ * x₂ = ((2 + √10) / 2) * ((2 – √10) / 2) = (4 – 10) / 4 = -6/4 = -3/2 （验证成功）

6. 图形表示 (可视化)

方程 2x² – 4x – 3 = 0 对应的二次函数是 y = 2x² – 4x – 3。这个函数的图像是一个抛物线。方程的解是抛物线与 x 轴的交点（x轴截距）。

抛物线开口向上 (因为 a = 2 > 0)。顶点坐标可以通过配方法找到，或者用公式 x = -b/2a 计算出 x 坐标，再代入函数得到 y 坐标。

x 坐标 = -(-4) / (2 * 2) = 1
y 坐标 = 2 * 1² – 4 * 1 – 3 = -5

因此，顶点坐标为 (1, -5)。由于顶点在 x 轴下方，且抛物线开口向上，所以与 x 轴有两个交点，对应于两个实数根。

7. 数值解法 (近似计算)

如果我们需要近似解，可以使用数值方法，例如牛顿迭代法。但这超出了简单讲解的范围，通常借助计算器或软件来完成。

总结

我们通过配方法、公式法、判别式、韦达定理和图形表示等多种方式，深入分析了方程 2x² – 4x – 3 = 0。最终，我们得出结论：该方程有两个不相等的实数根，分别为 x = (2 + √10) / 2 和 x = (2 – √10) / 2。希望这个分析对你有所帮助！