x² – x – 1 = 0 是一个标准的二次方程。 解决此类方程，最常用的方法有三种：公式法 (求根公式)，配方法，和因式分解法 (虽然对于此题，因式分解比较困难，但我们仍然会稍微提及)。
一、公式法 (求根公式)
这是解决任何二次方程最可靠的方法。 对于形如 ax² + bx + c = 0 的二次方程，求根公式为：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
在本题中，a = 1, b = -1, c = -1。 将这些值代入公式：
x = (-(-1) ± √((-1)² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)
x = (1 ± √(1 + 4)) / 2
x = (1 ± √5) / 2
因此，方程的两个解是：
- x₁ = (1 + √5) / 2 (即著名的黄金分割 φ ≈ 1.618)
- x₂ = (1 – √5) / 2 (约为 -0.618)
总结公式法:
- 优点: 适用于任何二次方程。
- 缺点: 需要记忆公式，计算量相对较大。
二、配方法
配方法的核心思想是将二次方程转化为 (x + p)² = q 的形式，然后通过开平方求解。
步骤如下：
-
将常数项移到等式右边：
x² – x = 1
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在等式两边加上 (b/2a)²，以使左边成为完全平方项。 在本题中，(b/2a)² = (-1 / (2 * 1))² = 1/4
x² – x + 1/4 = 1 + 1/4
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将左边写成完全平方的形式，并化简右边：
(x – 1/2)² = 5/4
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对等式两边开平方：
x – 1/2 = ±√(5/4)
x – 1/2 = ±√5 / 2
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解出 x：
x = 1/2 ± √5 / 2
x = (1 ± √5) / 2
同样，我们得到了与公式法相同的结果：
- x₁ = (1 + √5) / 2
- x₂ = (1 – √5) / 2
总结配方法:
- 优点: 有助于理解二次方程的本质，不需要死记硬背公式。
- 缺点: 当a不等于1或者b是奇数时，计算过程相对复杂。
三、因式分解法
虽然对于 x² – x – 1 = 0 来说，直接因式分解比较困难（因为它的解是无理数），但我们可以尝试一些思路。 如果方程可以分解成 (x – r₁)(x – r₂) = 0 的形式，那么 r₁ 和 r₂ 就是方程的解。
然而，由于根是 (1 + √5) / 2 和 (1 – √5) / 2， 直接尝试分解会非常复杂。 也就是说，要分解为 (x – (1 + √5) / 2)(x – (1 – √5) / 2) = 0 的形式。 这种方式并不实用，因此，在实际解题中，因式分解法通常不适用于此类方程。
总结因式分解法:
- 优点: 如果可以找到简单的因式分解形式，解题速度非常快。
- 缺点: 并非所有二次方程都可以轻松分解。对于本例来说，几乎不可行。
图像解法 (补充说明，非直接解法)
最后，从图像的角度来看，方程 x² – x – 1 = 0 的解，实际上是二次函数 y = x² – x – 1 的图像与 x 轴的交点的横坐标。 通过绘制该函数的图像，我们可以粗略地估计方程的解。
总结:
对于 x² – x – 1 = 0 这个问题，公式法是首选，因为它总是有效。配方法也是一种可靠的方法，并且有助于深入理解方程。因式分解法在大多数情况下并不适用。 最终，我们得到的解是 x₁ = (1 + √5) / 2 和 x₂ = (1 – √5) / 2。