x² – 2x – 1 = 0 怎么解？别急，咱们用几种不同的方式，把这个问题安排得明明白白！

方法一：万能公式法（判别式 + 求根公式）

这是个通用的方法，只要是二次方程，它都能搞定。

1. 确认系数： 首先，我们要识别出方程 x² – 2x – 1 = 0 中的系数。 a = 1, b = -2, c = -1。

2. 计算判别式： 判别式（Δ）的公式是 Δ = b² – 4ac。 代入数值，Δ = (-2)² – 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8。

3. 判断解的情况： 因为 Δ > 0，所以这个方程有两个不相等的实数根。

4. 使用求根公式： 求根公式是 x = (-b ± √Δ) / (2a)。 代入数值，

   x = ( -(-2) ± √8 ) / (2 * 1)
   x = ( 2 ± 2√2 ) / 2
   x = 1 ± √2

所以，方程的两个解是 x₁ = 1 + √2 和 x₂ = 1 – √2。

方法二：配方法（化繁为简，揭示本质）

配方法的核心思想是将二次三项式变成一个完全平方的形式，然后再求解。

1. 移项： 将常数项移到等号的右边： x² – 2x = 1

2. 配方： 为了将左边配成完全平方，我们需要加上 (b/2)²，也就是 (-2/2)² = 1。 注意，等式两边都要加上 1： x² – 2x + 1 = 1 + 1

3. 化简： 现在左边是一个完全平方： (x – 1)² = 2

4. 开平方： 两边同时开平方： x – 1 = ±√2

5. 求解： 移项，得到解： x = 1 ± √2

   所以，和公式法一样，我们得到 x₁ = 1 + √2 和 x₂ = 1 – √2。

方法三：图像法（直观感受，另辟蹊径）

我们可以将方程 x² – 2x – 1 = 0 看作函数 y = x² – 2x – 1 的图像与 x 轴的交点。

1. 绘制图像： 画出函数 y = x² – 2x – 1 的图像。这是一个开口向上的抛物线。 我们可以通过配方得到顶点坐标： y = (x – 1)² – 2，所以顶点是 (1, -2)。

2. 观察交点： 图像与 x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的解。

3. 估算/验证： 虽然通过图像很难精确读取数值，但我们可以看到交点大约在 x = 2.4 和 x = -0.4 附近。 这与我们之前计算的 1 + √2 ≈ 2.414 和 1 – √2 ≈ -0.414 非常接近。

总结：

三种方法殊途同归，都能解出方程 x² – 2x – 1 = 0。

• 公式法： 简单粗暴，效率高，适用于任何二次方程。
• 配方法： 揭示了方程的本质，有助于理解二次方程的结构，但稍微繁琐。
• 图像法： 直观易懂，能帮助我们从几何角度理解方程的解，但精度有限。

选择哪种方法取决于个人喜好和具体情况。 如果你追求效率，公式法是首选；如果你想深入理解，配方法是个不错的选择；如果你喜欢可视化，图像法可以给你带来不同的视角。