平方之下，寻根问底：x² – 7x – 18 = 0
我们要解决的是一个标准的二次方程：x² - 7x - 18 = 0。 解决它犹如剥洋葱，一层一层地探寻，直到触及核心的根。
一、战略总览：武器库准备
解二次方程，我们有三种主要武器：
- 因式分解法： 简单粗暴，如果能快速找到因式，一击毙命。
- 配方法： 万能钥匙，任何二次方程都能打开，但步骤稍显繁琐。
- 公式法： 最终兵器，直接套用公式，简单快捷，但需要记住公式。
让我们先试水，看看因式分解法是否奏效。
二、战术一：因式分解——庖丁解牛
因式分解的核心在于，将二次三项式分解成两个一次因式的乘积，即找到两个数，它们的积等于 -18，和等于 -7。
思考一下：
- -18 的因子组合有哪些？ (1, -18), (-1, 18), (2, -9), (-2, 9), (3, -6), (-3, 6)
- 哪一对的和是 -7？ Bingo! 2 和 -9。
因此，我们可以将方程改写为：
(x + 2)(x - 9) = 0
现在，问题简化了。 只有当两个因式中至少有一个为零时，整个表达式才为零。 所以：
x + 2 = 0 => x = -2x - 9 = 0 => x = 9
因式分解法胜出！ 解为 x = -2 或 x = 9。
三、战术二：配方法——精雕细琢
如果因式分解不那么容易，配方法就能派上用场。 其本质是把方程变形为完全平方的形式：(x + a)² = b
-
移项： 将常数项移到等式右边：
x² - 7x = 18 -
配方： 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 一次项系数是 -7，一半是 -7/2，平方是 49/4。
x² - 7x + (49/4) = 18 + (49/4) -
化简： 将左边写成完全平方的形式，右边进行通分计算：
(x - 7/2)² = (72/4) + (49/4) = 121/4 -
开方： 对等式两边开平方：
x - 7/2 = ±√(121/4) = ±11/2 -
解方程： 分别求解两种情况：
x - 7/2 = 11/2 => x = (11/2) + (7/2) = 18/2 = 9x - 7/2 = -11/2 => x = (-11/2) + (7/2) = -4/2 = -2
配方法同样找到了答案：x = -2 或 x = 9。
四、战术三：公式法——一劳永逸
公式法是解决二次方程的终极武器。 对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解为：
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
在本题中，a = 1, b = -7, c = -18。 代入公式：
x = [7 ± √((-7)² - 4 * 1 * -18)] / (2 * 1)
x = [7 ± √(49 + 72)] / 2
x = [7 ± √121] / 2
x = [7 ± 11] / 2
所以：
x = (7 + 11) / 2 = 18 / 2 = 9x = (7 - 11) / 2 = -4 / 2 = -2
公式法验证了之前的结论：x = -2 或 x = 9。
五、最终复盘：殊途同归
三种方法，三种思路，但都指向同一个答案：x = -2 和 x = 9。 这说明数学的严谨性和逻辑的魅力。 选择哪种方法，取决于个人的偏好和题目的特点。 对于这个特定的方程，因式分解法最为简便。 但掌握多种方法，才能在不同的战场上游刃有余。 更重要的是，我们领略了解决问题的不同角度和思路，这才是数学学习的真谛。