一、方程的解读：从几何到代数
方程 x² – 4x – 3 = 0，本质上是在寻找一个或多个特定的x值，当这些值代入这个二次多项式时，结果等于零。我们可以从几个角度理解：
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几何角度： 如果我们将 y = x² – 4x – 3 视为一个抛物线，那么方程解就是抛物线与x轴的交点横坐标。
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函数角度： 它是函数 f(x) = x² – 4x – 3 的零点。
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代数角度： 这是一个标准形式的二次方程，可以运用特定的公式或方法来求解。
二、求解方法一：配方法
配方法的核心思想是通过恒等变形，将二次式转化为完全平方的形式，从而简化方程。
- 移项： 将常数项移到等式右边：x² – 4x = 3
- 配方： 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方。由于一次项系数是-4，一半是-2，(-2)² = 4。 因此，x² – 4x + 4 = 3 + 4
- 化简： 将左边化为完全平方：(x – 2)² = 7
- 开平方： 两边同时开平方： x – 2 = ±√7
- 求解： 解出x的值：x = 2 ± √7
因此，方程的两个解是 x₁ = 2 + √7 和 x₂ = 2 – √7 。
三、求解方法二：公式法 (求根公式)
对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解可以使用求根公式直接计算：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
在本题中，a = 1, b = -4, c = -3。代入公式：
x = (4 ± √((-4)² – 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)
x = (4 ± √(16 + 12)) / 2
x = (4 ± √28) / 2
x = (4 ± 2√7) / 2
x = 2 ± √7
同样得到，x₁ = 2 + √7 和 x₂ = 2 – √7 。
四、求解方法三：图像法 (草图)
虽然图像法不能精确地解出方程，但可以帮助我们直观地理解解的存在以及大致的范围。
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绘制草图： 画出 y = x² – 4x – 3 的大致草图。可以先找到顶点坐标。顶点横坐标 x = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2。将 x = 2 代入方程，得到顶点纵坐标 y = 2² – 4 * 2 – 3 = -7。 因此顶点坐标为(2, -7)。
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观察交点： 因为抛物线开口向上，顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴有两个交点。交点的横坐标就是方程的解。通过草图我们可以估计两个解的大致范围。
五、判别式：解的性质
判别式 Δ = b² – 4ac 决定了二次方程解的性质。
- Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。
- Δ = 0：方程有两个相等的实数根（也称为重根）。
- Δ < 0：方程没有实数根（有两个共轭复数根）。
在本题中，Δ = (-4)² – 4 * 1 * -3 = 16 + 12 = 28 > 0，因此方程有两个不相等的实数根，这与我们求解的结果一致。
六、总结与思考
方程 x² – 4x – 3 = 0 有两个实数解，分别为 2 + √7 和 2 – √7。我们可以通过配方法、公式法以及图像法来求解。 判别式能够帮助我们判断解的性质。理解方程的几何意义有助于我们更深入地理解解的本质。不同的方法各有优劣，根据具体情况选择合适的方法是解决数学问题的关键。例如，在没有计算器的情况下，图像法可以帮助我们验证解的合理性。
请注意，√7 是一个无理数，因此方程的解是无理数。这意味着我们无法用精确的小数来表示它们，只能用近似值。