m² – 2m – 3 = 0，这是一个典型的一元二次方程，解决它就像拆解一个巧妙的谜题，有很多条路径可以通向答案。我们将从多个角度剖析它，确保你完全理解。
一、最直接的方法：因式分解
这是最简洁优雅的方法之一。我们需要找到两个数，它们的乘积是 -3，而它们的和是 -2（m项的系数）。稍微思考一下，你会发现 -3 和 +1 正好满足条件。
因此，我们可以将方程改写为：
(m – 3)(m + 1) = 0
当两个数的乘积为零时，至少有一个数必须是零。所以：
- m – 3 = 0 => m = 3
- m + 1 = 0 => m = -1
因此，方程的解是 m = 3 和 m = -1。
二、通用解法：公式法（求根公式）
如果因式分解不容易看出来，或者方程本身就很难分解，公式法就是你的救星。 对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解可以用求根公式表示：
m = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
在这个例子中，a = 1, b = -2, c = -3。 代入公式：
m = (2 ± √((-2)² – 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)
m = (2 ± √(4 + 12)) / 2
m = (2 ± √16) / 2
m = (2 ± 4) / 2
因此：
- m = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
- m = (2 – 4) / 2 = -2 / 2 = -1
结果与因式分解法一致。
三、配方法：变身完全平方
配方法是一种更加灵活的技巧，它通过将二次表达式转化为完全平方项来简化求解。
- 移动常数项： m² – 2m = 3
-
配方： 为了将左边配成完全平方，我们需要加上 (b/2)²，这里 b = -2，所以 (b/2)² = (-2/2)² = 1。 在等式两边都加上 1：
m² – 2m + 1 = 3 + 1
3. 化简： 左边现在是一个完全平方项：(m – 1)² = 4
4. 开平方： 两边同时开平方：m – 1 = ±√4
m – 1 = ±2
5. 求解 m：- m = 1 + 2 = 3
- m = 1 – 2 = -1
再次验证了我们的答案。
四、图像视角：抛物线的零点
从图像的角度来看，m² – 2m – 3 = 0 实际上是在寻找函数 y = m² – 2m – 3 的图像与 x 轴的交点（也就是 y = 0 的点）。
这是一个开口向上的抛物线。抛物线与 x 轴的交点就是方程的解，即 m = 3 和 m = -1。 你可以用绘图软件（如Desmos或Geogebra）来验证这一点，直观地看到抛物线穿过x轴的位置。
五、总结与思考
我们用了三种代数方法（因式分解、公式法、配方法）以及一种图像方法（抛物线）来解决同一个问题。 这说明数学的魅力在于，同一个问题往往有多种解法，每种解法都从不同的角度揭示了问题的本质。
- 因式分解 简单直接，但依赖于你是否能快速找到合适的因子。
- 公式法 万能，只要记住公式，任何二次方程都能解决。
- 配方法 更加灵活，可以用来推导公式法，也能解决一些其他类型的问题。
- 图像法 直观形象，有助于理解方程的解的几何意义。
选择哪种方法取决于你自己的偏好和问题的特点。 重要的是理解每种方法的原理，并灵活运用它们。
希望通过以上的分析，你已经彻底理解了如何解决 m² – 2m – 3 = 0 这个问题。 数学之美，在于思考，在于探索，在于发现不同的解法。