方程解读：《x² – 7x – 8 = 0》
首先，我们面对的是一个典型的一元二次方程，它的标准形式是 ax² + bx + c = 0。 在这个例子中， a = 1， b = -7， c = -8。 我们的目标是找到 x 的值，使得这个等式成立。 换句话说，我们需要找到这个二次函数与 x 轴的交点。
解法一：因式分解（最直观的方法）
因式分解是最简洁明了的解法之一，如果可能的话，总是优先尝试。 它的思路是把二次三项式 x² – 7x – 8 分解成两个一次因式的乘积。
我们需要找到两个数，它们的积是 -8 (c 的值)，并且它们的和是 -7 (b 的值)。 经过一番思考，我们可以发现这两个数是 -8 和 1。 因为 (-8) * 1 = -8 并且 (-8) + 1 = -7。
因此，我们可以将原方程改写为：
(x – 8)(x + 1) = 0
这意味着要么 (x – 8) = 0，要么 (x + 1) = 0。
- 如果 (x – 8) = 0，那么 x = 8
- 如果 (x + 1) = 0，那么 x = -1
所以，这个方程的两个解是 x = 8 和 x = -1。
解法二：配方法（构建完全平方）
配方法是通过将二次式变形为一个完全平方项加上一个常数项来求解。虽然稍显复杂，但它揭示了二次方程的结构本质。
-
移项： 将常数项移到等式右边：
x² – 7x = 8 -
配方： 在等式两边同时加上 (b/2)²，目的是将左边配成完全平方式。 在这里，b = -7，所以 (b/2)² = (-7/2)² = 49/4。
x² – 7x + 49/4 = 8 + 49/4
-
化简： 将左边写成完全平方的形式，并将右边通分：
(x – 7/2)² = 32/4 + 49/4 = 81/4
-
开方： 对等式两边同时开平方：
x – 7/2 = ±√(81/4) = ±9/2
-
求解： 解出 x 的值：
x = 7/2 ± 9/2
- x = 7/2 + 9/2 = 16/2 = 8
- x = 7/2 – 9/2 = -2/2 = -1
同样，我们得到两个解： x = 8 和 x = -1。
解法三：公式法（万能钥匙）
公式法是一种通用的解法，适用于任何一元二次方程。 它直接利用二次方程的系数计算出方程的解。
二次方程 ax² + bx + c = 0 的解的公式是：
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
在这个例子中，a = 1, b = -7, c = -8。 代入公式：
x = [7 ± √((-7)² – 4 * 1 * -8)] / (2 * 1)
x = [7 ± √(49 + 32)] / 2
x = [7 ± √81] / 2
x = [7 ± 9] / 2
- x = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8
- x = (7 – 9) / 2 = -2 / 2 = -1
结论再次一致： x = 8 和 x = -1。
几何意义：抛物线与X轴的交点
从几何角度看，方程 x² – 7x – 8 = 0 描述了一条抛物线 y = x² – 7x – 8。 求解这个方程实际上是在寻找这条抛物线与 x 轴 (y = 0) 的交点。 我们求得的 x = 8 和 x = -1 就是这两个交点的横坐标。 抛物线以 x = 7/2 为对称轴，开口向上。
总结
我们使用了三种不同的方法求解了方程 x² – 7x – 8 = 0，每种方法都提供了不同的视角。 因式分解简洁明了，配方法揭示了方程的结构，公式法则是万能的。 无论采用哪种方法，最终我们都得到了相同的解：x = 8 和 x = -1。 理解这些方法以及它们背后的原理对于掌握二次方程至关重要。 此外，了解方程的几何意义有助于更深入地理解其解的含义。