y = 1 – x² 的图像：由浅入深，玩转抛物线

y = 1 – x² 是一个看似简单的二次函数，但它背后蕴藏着丰富的数学信息。 让我们从不同的角度，抽丝剥茧地揭开它的神秘面纱。

一、 初识图像：一眼看穿，抛物线驾到

首先，我们知道这是一个二次函数，形如 y = ax² + bx + c。 在这里， a = -1, b = 0, c = 1。 因为 a < 0， 所以它的图像是一个开口向下的抛物线。 想象一下一座拱桥，倒过来就是它的形状。

其次，常数项 c = 1 告诉我们， 抛物线与 y 轴的交点（即 y 轴截距）是 (0, 1)。 这意味着抛物线的顶点就在 y 轴上。

二、 精确制导：找到关键点

除了 y 轴截距，我们还需要找到其他关键点，才能更精确地绘制图像：

• 顶点： 由于对称性，顶点就在 y 轴上，坐标就是(0, 1)。 （因为抛物线顶点式是y = a(x-h)² + k，其中(h,k)是顶点坐标。我们的函数可以写成y = -(x-0)² + 1，所以顶点是(0,1)）
• x 轴截距： 也就是令 y = 0，解方程 1 – x² = 0。 得到 x = ±1。 所以，抛物线与 x 轴的交点是 (-1, 0) 和 (1, 0)。

有了这三个点，我们就可以大致画出抛物线的形状了。

三、 对称之美：轴对称图形

抛物线是轴对称图形，对称轴是直线 x = 0 (也就是 y 轴)。 这意味着，对于任何一个 x 值，比如 x = 2， 都能在对称轴的另一侧找到一个对应的 x 值 (x = -2)，使得它们的 y 值相同。 利用对称性，我们可以快速找到更多的点，从而更准确地绘制图像。

四、 变身游戏：参数的影响

我们可以通过调整函数中的参数，观察对图像的影响：

• y = -x²： 相当于把抛物线 y = x² 沿 x 轴翻转。 顶点是 (0, 0)。
• y = 1 – (x – 2)²： 相当于把 y = 1 – x² 的图像向右平移 2 个单位。顶点变成 (2, 1)。
• y = 2(1 – x²)： 相当于把 y = 1 – x² 的图像沿 y 轴方向拉伸 2 倍。 顶点变成 (0, 2)， 开口变得更窄。

五、 深度剖析：导数的应用

如果你学过微积分，可以用导数来分析函数的单调性和极值：

• 求导： y’ = -2x
• 令 y’ = 0： 得到 x = 0。 这是函数的驻点，也就是可能的极值点。
• 分析： 当 x < 0 时，y’ > 0，函数单调递增；当 x > 0 时，y’ < 0，函数单调递减。 所以，x = 0 是函数的极大值点，对应的极大值是 y = 1。

这与我们之前通过图像分析得出的结论一致，验证了我们的理解。

六、 生活实例：抛物线的应用

抛物线并非只是数学课本上的抽象概念，它在生活中有着广泛的应用：

• 投掷运动： 忽略空气阻力，投掷物体的轨迹是抛物线。
• 桥梁设计： 很多拱桥都采用抛物线形状，以分散压力，增加桥梁的稳定性。
• 卫星天线： 卫星天线通常是抛物面形状，可以将接收到的信号聚焦到焦点上。
• 手电筒： 抛物面形状的反射镜可以将灯泡发出的光线平行射出。

七、 总结：

y = 1 – x² 的图像是一条开口向下的抛物线，顶点是 (0, 1)，与 x 轴的交点是 (-1, 0) 和 (1, 0)。 通过调整函数中的参数，我们可以改变抛物线的位置、形状和开口方向。 掌握这些知识，不仅可以帮助我们更好地理解二次函数，还能让我们在生活中发现更多的数学之美。 希望这篇文章能让你对 y = 1 – x² 的图像有更深入的了解！