好的，接下来我们将深入探讨方程 36x² – 1 = 0。

1. 核心思想：因式分解 or 平方根性质

这个方程本质上是一个一元二次方程。我们有两种主要的方法来解决它：

• 因式分解： 利用平方差公式 a² – b² = (a + b)(a – b)。
• 平方根性质： 直接将常数项移到等号右边，然后开平方。

2. 方法一：因式分解 (最优雅)

36x² – 1 可以看作 (6x)² – 1²。 应用平方差公式，得到：

(6x + 1)(6x – 1) = 0

这意味着，要么 (6x + 1) = 0，要么 (6x – 1) = 0。

• 如果 6x + 1 = 0，那么 6x = -1，所以 x = -1/6。
• 如果 6x – 1 = 0，那么 6x = 1，所以 x = 1/6。

因此，方程的两个解是 x = -1/6 和 x = 1/6。

3. 方法二：平方根性质 (更直接)

1. 将方程变形为： 36x² = 1
2. 两边同时除以36： x² = 1/36
3. 两边开平方根： x = ±√(1/36) (注意正负号!)
4. 简化： x = ±1/6

同样得到解：x = -1/6 和 x = 1/6。

4. 图形化理解 (数形结合)

我们可以将 36x² – 1 = 0 看作函数 y = 36x² – 1 与 x 轴的交点。

• y = 36x² – 1 是一个开口向上的抛物线。
• 方程的解就是抛物线与 x 轴相交的两个点的 x 坐标。 这两个交点分别是 (-1/6, 0) 和 (1/6, 0)。 这从几何上直观地验证了解的正确性。

5. 趣味问答环节 (检验理解)

• 问： 为什么开平方根的时候要考虑正负号？

  • 答： 因为正数和负数的平方都是正数。例如，(1/6)² = 1/36，同样 (-1/6)² = 1/36。

• 问： 如果方程变成 36x² + 1 = 0，结果会怎样？

  • 答： 此时 x² = -1/36。 由于实数的平方不可能为负数，所以这个方程在实数范围内无解。它有复数解，x = ±(1/6)i (其中 i 是虚数单位，i² = -1)。

6. 拓展思考 (深入挖掘)

• 这个方程是完全平方公式的反向应用。 掌握完全平方公式对于解决更复杂的二次方程至关重要。
• 求解二次方程的方法有很多，包括配方法、求根公式等。 选择哪种方法取决于方程的特点和个人习惯。
• 二次方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，例如计算抛物体的运动轨迹、电路的阻抗等。

7. 总结

通过因式分解、平方根性质以及图形化理解，我们彻底解决了方程 36x² – 1 = 0。解为 x = -1/6 和 x = 1/6。 重要的是理解背后的数学原理，并能灵活运用不同的方法解决类似问题。