好的，咱们来把 2x² – 4x – 1 = 0 这个问题掰开了、揉碎了，用各种方法分析明白。

一、标准公式解法 (中规中矩，适用性广)

这是最常见，也是几乎所有二次方程都能解决的方法。回忆一下二次方程的求根公式：

对于 ax² + bx + c = 0，它的根是：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

在这个题目里，a = 2, b = -4, c = -1。 代入公式：

x = (4 ± √((-4)² – 4 * 2 * -1)) / (2 * 2)
x = (4 ± √(16 + 8)) / 4
x = (4 ± √24) / 4
x = (4 ± 2√6) / 4
x = 1 ± (√6) / 2

所以，这个方程的两个根是 x₁ = 1 + (√6) / 2 和 x₂ = 1 – (√6) / 2 。

二、配方法 (一步步推导，理解本质)

配方法的核心思想是通过恒等变形，把二次三项式变成一个完全平方的形式，然后再求解。

1. 系数化1： 先把x²的系数变成1，方程两边同时除以2：

   x² – 2x – 1/2 = 0

2. 移项： 把常数项移到等式右边：

   x² – 2x = 1/2

3. 配方： 方程左边加上 (2/2)² = 1，使它变成完全平方。为了保持等式平衡，方程右边也要加上1：

   x² – 2x + 1 = 1/2 + 1

4. 化简： 将左边写成完全平方的形式，右边化简：

   (x – 1)² = 3/2

5. 开平方： 方程两边同时开平方：

   x – 1 = ±√(3/2) = ±(√6)/2

6. 解方程： 移项，得到最终结果：

   x = 1 ± (√6)/2

   和公式法的结果一样，x₁ = 1 + (√6) / 2 和 x₂ = 1 – (√6) / 2 。

三、图像法 (直观展示，感受根的含义)

想象一下函数 y = 2x² – 4x – 1 的图像。 这是一个开口向上的抛物线。 方程 2x² – 4x – 1 = 0 的解，就是这条抛物线与 x 轴的交点的 x 坐标。

• 顶点： 可以先求出抛物线的顶点坐标。顶点的x坐标是 -b/(2a) = -(-4) / (2*2) = 1。把x=1代入方程得到顶点的y坐标：y = 2(1)² – 4(1) – 1 = -3。 所以顶点是 (1, -3)。
• 对称轴： 抛物线关于直线 x = 1 对称。
• 开口方向： 因为 a = 2 > 0，所以抛物线开口向上。

因为顶点在 x 轴下方，且抛物线开口向上，所以抛物线一定与 x 轴有两个交点。交点的 x 坐标就是方程的两个根。虽然我们不能通过图像精确地读出根的值，但是可以大致判断根的位置，以及验证我们用其他方法计算出的根是否合理。 比如，我们可以看出一个根在1的左边，一个根在1的右边。

四、韦达定理 (分析根与系数的关系，深入理解)

韦达定理描述了二次方程的根与系数之间的关系。 对于方程 ax² + bx + c = 0，设两个根为 x₁ 和 x₂，则：

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

在这个题目里：

• x₁ + x₂ = -(-4)/2 = 2
• x₁ * x₂ = -1/2

我们可以利用韦达定理来检验我们的解是否正确。

我们求得的解是 x₁ = 1 + (√6) / 2 和 x₂ = 1 – (√6) / 2 。

• x₁ + x₂ = (1 + (√6) / 2) + (1 – (√6) / 2) = 2。 符合韦达定理。
• x₁ * x₂ = (1 + (√6) / 2) * (1 – (√6) / 2) = 1 – (6/4) = 1 – 3/2 = -1/2。 也符合韦达定理。

总结

我们用四种不同的方法解决了方程 2x² – 4x – 1 = 0。 每种方法都从不同的角度揭示了方程的性质和解的含义。希望通过这些讲解，你对二次方程的理解更加深刻！