3x² – 2x – 1 = 0 解题全攻略

这个看似简单的二次方程：3x² – 2x – 1 = 0，其实蕴含着多种解法和背后的数学思想。我们将从不同角度剖析它，让你彻底掌握二次方程的解题技巧。

一、因式分解法：化繁为简的艺术

这是最直接也最常用的方法，关键在于将二次三项式分解成两个一次因式的乘积。

1. 寻找规律： 目标是找到两个数，它们的乘积等于二次项系数和常数项的乘积 (3 * -1 = -3)，并且它们的和等于一次项系数 (-2)。
2. 尝试组合： 很容易发现，-3 和 1 这两个数满足条件。
3. 分解因式： 将原方程改写为：3x² – 3x + x – 1 = 0。 然后分组提取公因式：3x(x – 1) + 1(x – 1) = 0。 最后得到：(3x + 1)(x – 1) = 0。
4. 求解根： 当 (3x + 1) = 0 或 (x – 1) = 0 时，方程成立。 因此，x₁ = -1/3， x₂ = 1。

简评： 因式分解法简单快捷，但需要一定的观察力和尝试。 并非所有二次方程都能轻易地进行因式分解。

二、公式法：万能钥匙，一劳永逸

对于任何二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，公式法都是适用的。 公式源于配方法，但记忆和使用更方便。

1. 确定系数： 在我们的方程中，a = 3，b = -2，c = -1。
2. 计算判别式 Δ： Δ = b² – 4ac = (-2)² – 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16。 判别式大于0，说明方程有两个不相等的实根。
3. 套用公式： x = (-b ± √Δ) / (2a) = (2 ± √16) / (2 * 3) = (2 ± 4) / 6。
4. 求解根： x₁ = (2 + 4) / 6 = 1， x₂ = (2 – 4) / 6 = -1/3。

简评： 公式法适用性广，不易出错，但计算量相对较大。需要熟练掌握公式，避免符号错误。

三、配方法：理解公式的根源

配方法的核心思想是通过恒等变形，将二次三项式配成一个完全平方式，然后再进行求解。

1. 系数化一： 将方程两边同时除以 3，得到：x² – (2/3)x – 1/3 = 0。
2. 配方： 将方程左边配成一个完全平方式。 为了得到 (x – A)² 的形式，我们需要加上和减去 (b/2a)²，即 (-2/3 / 2)² = (1/3)² = 1/9。 因此，x² – (2/3)x + 1/9 – 1/9 – 1/3 = 0。
3. 变形： 将前三项合并成完全平方式：(x – 1/3)² – 1/9 – 1/3 = 0。 简化得到：(x – 1/3)² = 4/9。
4. 求解根： 两边同时开平方：x – 1/3 = ± √(4/9) = ± 2/3。
5. 移项： x = 1/3 ± 2/3。 因此，x₁ = 1， x₂ = -1/3。

简评： 配方法思路清晰，可以帮助理解公式的来源，但运算过程相对复杂，容易出错。

四、图像法：直观理解，发现根的存在

将二次方程转化为函数 y = 3x² – 2x – 1，然后在坐标系中绘制函数图像。 方程的根就是函数图像与 x 轴的交点。

1. 绘制图像： 这是一个开口向上的抛物线。
2. 观察交点： 通过绘制图像（可以使用绘图软件或手绘），可以发现抛物线与 x 轴有两个交点，分别位于 x = 1 和 x = -1/3 附近。

简评： 图像法直观易懂，可以验证结果的正确性，但精确度有限，通常用于初步估计和验证。

总结：

对于 3x² – 2x – 1 = 0 这个问题，我们通过因式分解法、公式法、配方法和图像法进行了详细的讲解。 每种方法都有其特点和适用性，选择哪种方法取决于个人习惯和问题的具体情况。 掌握这些方法，你就能轻松应对各种二次方程问题。