3x平方减4x减1等于0

这个问题是一个典型的二次方程，形式为 ax² + bx + c = 0。在本例中，a = 3，b = -4，c = -1。解决这类问题的关键是找到满足该方程的 x 值，这些值也被称为方程的根或解。以下将从多个角度来讲解如何解决这个问题：

1. 公式法 (求根公式):

这是最直接也是最常用的方法。二次方程的求根公式如下：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)

将 a = 3, b = -4, c = -1 代入公式：

x = [4 ± √((-4)² – 4 * 3 * -1)] / (2 * 3)
x = [4 ± √(16 + 12)] / 6
x = [4 ± √28] / 6
x = [4 ± 2√7] / 6
x = (2 ± √7) / 3

因此，方程的两个根是：

2. 配方法:

配方法是将二次方程转化为 (x + p)² = q 的形式，然后求解。

步骤如下：

系数化 1: 首先将方程的 x² 项系数化为 1，即方程两边同除以 3：

x² – (4/3)x – (1/3) = 0
移项: 将常数项移到等式右边：

x² – (4/3)x = 1/3
配方: 在等式两边加上 x 项系数一半的平方，即加上 (-4/6)² = 4/9。

x² – (4/3)x + 4/9 = 1/3 + 4/9
x² – (4/3)x + 4/9 = 7/9
写成完全平方形式: 等式左边可以写成一个完全平方的形式：

(x – 2/3)² = 7/9
开平方: 等式两边开平方：

x – 2/3 = ±√(7/9)
x – 2/3 = ±√7 / 3
求解 x: 移项得到 x 的值：

x = 2/3 ± √7 / 3
x = (2 ± √7) / 3

同样，我们得到与公式法相同的结果：

3. 图解法:

虽然不能精确地找到解，但可以通过图像来近似解。

绘制函数图像: 将方程看作函数 y = 3x² – 4x – 1。绘制这个函数的图像（一个抛物线）。
寻找交点: 方程的解是抛物线与 x 轴的交点 (y = 0 的点)。通过观察图像，我们可以找到两个交点的 x 坐标，它们就是方程的近似解。虽然精度有限，但可以提供一个大致的范围。使用绘图工具(例如 Desmos 或 GeoGebra)可以更精确地绘制和观察图像。

4. 数值解法 (近似解):

当无法直接求解时，可以使用数值方法，例如：

二分法: 首先找到两个 x 值，使得函数 y = 3x² – 4x – 1 在这两个值处的符号相反。然后不断缩小这两个值之间的区间，直到找到足够精确的近似解。
牛顿迭代法: 使用迭代公式 x_(n+1) = x_n – f(x_n) / f'(x_n) 来逼近解。对于我们的方程，f(x) = 3x² – 4x – 1，f'(x) = 6x – 4。选择一个初始值 x_0，然后迭代计算 x_1, x_2, … 直到收敛到解。

分析与讨论:

判别式: 求根公式中根号下的部分 (b² – 4ac) 被称为判别式，用 Δ 表示。 Δ = b² – 4ac。在本例中，Δ = (-4)² – 4 * 3 * -1 = 28 > 0。判别式决定了方程根的性质：
- Δ > 0: 方程有两个不同的实根。
- Δ = 0: 方程有两个相等的实根 (重根)。
- Δ < 0: 方程没有实根，有两个共轭复根。
由于我们的 Δ > 0，所以方程有两个不同的实根，这与我们通过计算得到的结果一致。
根的性质: 根 (2 + √7) / 3 和 (2 – √7) / 3 都是无理数，因为它们包含了 √7。
韦达定理: 韦达定理描述了二次方程的根与系数之间的关系。对于方程 ax² + bx + c = 0，设两个根为 x₁ 和 x₂，则：
- x₁ + x₂ = -b / a
- x₁ * x₂ = c / a
在本例中：
* x₁ + x₂ = (2 + √7) / 3 + (2 – √7) / 3 = 4/3 = -(-4) / 3
* x₁ * x₂ = [(2 + √7) / 3] * [(2 – √7) / 3] = (4 – 7) / 9 = -3 / 9 = -1/3

韦达定理验证了我们计算出的根是正确的。

总而言之，对于方程 3x² – 4x – 1 = 0，我们可以使用公式法、配方法找到精确解。图解法可以给出近似解。判别式可以帮助我们了解根的性质，韦达定理可以用来验证解的正确性。这些方法和概念共同构成了解决二次方程的完整工具箱。