让我们把二次方程 x² – 2x – 1 = 0 彻底解剖！ 我们将采用多种方法，从基础的配方法开始，一路探索到更巧妙的技巧和几何解释。

一、 配方法：化繁为简的艺术

配方法的核心思想是把二次方程转换成完全平方的形式，即 (x + a)² = b 的形式。 这样，我们就能直接开方求解 x 了。

1. 移项： 首先，把常数项移到方程的右边:
   x² – 2x = 1

2. 配方： 观察左边，我们要凑成一个完全平方。 由于 (x – 1)² = x² – 2x + 1， 所以我们需要在等式两边都加上 1：
   x² – 2x + 1 = 1 + 1
   (x – 1)² = 2

3. 开方： 两边同时开方：
   x – 1 = ±√2

4. 求解： 最后，解出 x：
   x = 1 ± √2

因此，方程的两个根分别是 x₁ = 1 + √2 和 x₂ = 1 – √2 。

二、 公式法：一劳永逸的方案

对于一般形式的二次方程 ax² + bx + c = 0， 我们有著名的求根公式：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

在这个例子中，a = 1, b = -2, c = -1。 代入公式：

x = (2 ± √((-2)² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)
x = (2 ± √(4 + 4)) / 2
x = (2 ± √8) / 2
x = (2 ± 2√2) / 2
x = 1 ± √2

结果与配方法完全一致！ 公式法虽然直接，但理解其背后的推导过程（其实就是配方法）也很重要。

三、 韦达定理：根与系数的秘密联系

韦达定理揭示了二次方程的根与系数之间的关系。 对于方程 ax² + bx + c = 0，设两根为 x₁ 和 x₂，则：

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

在我们的方程中，a = 1, b = -2, c = -1。 因此：

• x₁ + x₂ = -(-2)/1 = 2
• x₁ * x₂ = -1/1 = -1

我们可以验证一下，用我们求出的根 x₁ = 1 + √2 和 x₂ = 1 – √2：

• (1 + √2) + (1 – √2) = 2
• (1 + √2) * (1 – √2) = 1 – 2 = -1

韦达定理不仅可以用来验证根的正确性，还可以用来求解一些特殊类型的题目，例如已知一根求另一根，或者构造满足特定条件的二次方程。

四、 函数图像：几何的直观展示

我们可以把方程 x² – 2x – 1 = 0 看作是函数 y = x² – 2x – 1 的零点。 函数图像是一个抛物线，与 x 轴的交点就是方程的根。

1. 顶点坐标： 抛物线的顶点坐标是 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。 在这个例子中，顶点坐标是 (1, -2)。

2. 开口方向： 由于 a = 1 > 0，抛物线开口向上。

3. 对称轴： 抛物线的对称轴是 x = -b/(2a) = 1。

通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程有两个实根，一个大于 1，一个小于 1。 更精确地，它们分别位于 1 的左右两侧，距离 1 的距离都是 √2。

五、 近似解法：数值计算的必要补充

虽然我们可以用精确的方法求解这个方程，但在实际应用中，有时我们只需要近似解。 这时，可以使用数值方法，例如牛顿迭代法。

牛顿迭代法的基本思想是，从一个初始猜测值 x₀ 开始，不断迭代，直到找到一个足够接近根的近似值。 迭代公式为：

xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ)

对于我们的函数 f(x) = x² – 2x – 1，它的导数是 f'(x) = 2x – 2。 假设我们初始猜测值 x₀ = 2，那么：

• x₁ = 2 – (2² – 22 – 1) / (22 – 2) = 2 – (-1) / 2 = 2.5
• x₂ = 2.5 – (2.5² – 22.5 – 1) / (22.5 – 2) = 2.5 – 0.25 / 3 = 2.41666…

经过多次迭代，我们可以得到一个非常接近 1 + √2 的近似值。

总结： 多角度理解，融会贯通

我们从多个角度分析了方程 x² – 2x – 1 = 0。 配方法是基础，公式法是捷径，韦达定理揭示了根与系数的关系，函数图像提供了直观的几何解释，而数值方法则为近似求解提供了手段。 通过理解这些不同的方法，我们可以更全面、更深入地理解二次方程。