sec²θ – 1 等于什么？ 答案是 tan²θ。
接下来，我们将从不同的角度和使用不同的方法来阐述这个关系式。
1. 最直观的三角恒等式推导:
这个等式源于最基础的三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 1。
我们可以对其进行简单的代数操作：
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首先，将等式两边同时除以 cos²θ：
(sin²θ / cos²θ) + (cos²θ / cos²θ) = 1 / cos²θ
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然后，利用以下定义进行替换：
- tan θ = sin θ / cos θ => tan²θ = sin²θ / cos²θ
- sec θ = 1 / cos θ => sec²θ = 1 / cos²θ
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替换后，等式变为：
tan²θ + 1 = sec²θ
-
最后，将 1 移到等式右边：
sec²θ – 1 = tan²θ
2. 几何角度的解释 (单位圆):
想象一个半径为 1 的单位圆。 在圆上取一点 P，其坐标为 (cos θ, sin θ)， 其中 θ 是该点与原点和正 x 轴的连线所成的角度。
- sin θ 代表点 P 的 y 坐标。
- cos θ 代表点 P 的 x 坐标。
- tan θ 代表 y 坐标与 x 坐标的比值，也就是 sin θ / cos θ。
- sec θ 代表 1 / cos θ， 可以理解为从原点到 P 点的射线在 x 轴上的投影的倒数。
现在，考虑一个以原点为中心，半径为 sec θ 的圆。在这个圆上，x坐标始终为1，y坐标则为tanθ，这构成一个直角三角形，其斜边长为secθ，一条直角边为1，另一条直角边为tanθ。 根据勾股定理，我们有：
1² + tan²θ = sec²θ
因此：
sec²θ – 1 = tan²θ
3. 不同形式的应用:
理解 sec²θ – 1 = tan²θ 的一个关键在于知道它有多种变形，并且可以在不同的情境下使用。
- tan²θ = sec²θ – 1: 这是最常见的形式，用于将 tan²θ 替换为 sec²θ 的表达式。
- sec²θ = 1 + tan²θ: 这种形式用于将 sec²θ 替换为 tan²θ 的表达式。
- sec θ = ±√(1 + tan²θ): 如果你想单独表示 sec θ,你需要注意正负号，因为平方根可能有两个解。
- tan θ = ±√(sec²θ – 1): 同样，当你单独表示 tan θ 时，也需要注意正负号。
4. 举例说明:
假设 θ = π/4 (45 度)。
- sec(π/4) = √2
- tan(π/4) = 1
那么:
sec²(π/4) – 1 = (√2)² – 1 = 2 – 1 = 1
tan²(π/4) = 1² = 1
验证了 sec²(π/4) – 1 = tan²(π/4)。
总结:
sec²θ – 1 = tan²θ 是一个非常重要的三角恒等式。 通过掌握它的推导过程、几何意义以及不同的形式，你可以更好地理解和应用三角函数，从而解决更复杂的问题。记住，理解概念比死记硬背公式更重要！