sec²x – 1 等于什么？答案是：tan²x (tan x 的平方)。
现在，我们来深入剖析这个结果，从多个角度理解它：
1. 从三角函数基本关系式入手（严谨的数学证明）：
这个等式来源于最基础的三角恒等式：
sin²x + cos²x = 1
为了得到包含 sec x 的表达式，我们对等式两边同时除以 cos²x （注意，这里隐含 cos x ≠ 0，也就是 x ≠ (π/2) + kπ，k为整数）：
(sin²x / cos²x) + (cos²x / cos²x) = 1 / cos²x
根据三角函数的定义，我们知道：
- sin x / cos x = tan x
- 1 / cos x = sec x
所以上面的等式可以写成：
tan²x + 1 = sec²x
然后，简单移项，即可得到：
sec²x – 1 = tan²x
这就是我们想要的答案。
2. 从几何角度理解（直观的可视化）：
想象一个单位圆（半径为1的圆）。 在单位圆上取一点P，连接圆心O和点P，得到一条线段OP。 设OP与x轴正方向的夹角为x。
- 那么，点P的横坐标是 cos x，纵坐标是 sin x。
- 过点P作x轴的垂线，垂足为A。
- 延长OP，与过点(1,0)的切线相交于点B。
此时，线段OB的长度就是 sec x，线段AB的长度就是 tan x。 (可以根据相似三角形原理证明)
现在，观察直角三角形OAB。根据勾股定理，我们有：
OA² + AB² = OB²
由于OA = 1，AB = tan x，OB = sec x，所以：
1² + tan²x = sec²x
再次移项，得到：
sec²x – 1 = tan²x
通过几何图形，我们直观地看到了 sec²x，1 和 tan²x 之间的关系，加深了对公式的理解。
3. 例子验证（实战演练）：
让我们用一些具体的数值来验证一下这个等式是否成立。
-
x = π/4 (45度)
sec(π/4) = √2，所以 sec²(π/4) = 2
tan(π/4) = 1，所以 tan²(π/4) = 1
sec²(π/4) – 1 = 2 – 1 = 1 = tan²(π/4) -
x = π/3 (60度)
sec(π/3) = 2，所以 sec²(π/3) = 4
tan(π/3) = √3，所以 tan²(π/3) = 3
sec²(π/3) – 1 = 4 – 1 = 3 = tan²(π/3)
通过具体的数值验证，我们可以更加确信这个等式是正确的。
4. 重要性及应用（实际价值）：
这个等式在三角函数运算、微积分、物理等领域都有广泛的应用。 例如：
- 积分： 在计算某些三角函数的积分时，我们可以利用这个公式进行化简，从而更容易求出积分。
- 三角恒等变换： 这个公式是进行三角恒等变换的重要工具，可以帮助我们简化复杂的三角表达式。
- 物理： 在描述某些物理现象时，例如简谐运动，会用到三角函数，而这个公式可以帮助我们进行分析和计算。
5. 注意事项（容易犯的错误）：
- 定义域： 要注意 sec x 和 tan x 的定义域。 当 cos x = 0 时，sec x 和 tan x 都没有定义，也就是 x ≠ (π/2) + kπ，k为整数。
- 符号： 虽然 tan²x 总是非负的，但是 tan x 可以是正数也可以是负数，取决于 x 所在的象限。
总结：
sec²x – 1 = tan²x 不仅仅是一个简单的公式，它背后蕴含着深刻的数学原理和几何直观。 掌握这个公式，可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。 从基本关系式推导，用几何图形解释，通过数值例子验证，并了解其应用和注意事项，我们可以更全面、更深入地理解 sec²x – 1 = tan²x。