x² – 1 等于什么？ 这看似简单的问题，实则蕴含着丰富的数学知识，从不同的角度切入，能展现出不同的精彩。让我们用多种方式，由浅入深，将它彻底剖析。

1. 朴素的代数视角：因式分解

最直接的方式就是进行因式分解。这几乎是看到 x² - 1 后，数学的第一反应！

根据平方差公式： a² – b² = (a + b)(a – b)

因此， x² – 1 = x² – 1² = (x + 1)(x – 1)

所以， x² - 1 等于 (x + 1)(x – 1) 。 这是一种积的形式，意味着如果 (x + 1) 或 (x – 1) 中任何一个为零，整个表达式的值就为零。

2. 方程的求解：根的寻找

我们可以将 x² - 1 视为一个方程的一部分，比如 x² – 1 = 0。 求解这个方程，实际上是在寻找使表达式 x² - 1 等于零的 x 的值，也就是寻找这个表达式的“根”。

解方程 x² – 1 = 0：

• 可以先移项： x² = 1
• 然后两边开平方： x = ±√1
• 因此， x = 1 或 x = -1

这表明，当 x 等于 1 或 -1 时， x² - 1 的值为零。 换句话说， 1 和 -1 是表达式 x² - 1 对应方程的解，也是这个表达式的零点。

3. 函数的视角：图像和性质

将 x² - 1 看作一个函数 f(x) = x² – 1 。这是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。

• 图像： 抛物线开口向上，顶点位于 (0, -1)。
• 与 x 轴的交点： 图像与 x 轴的交点对应着方程 f(x) = 0 的解，也就是 x = 1 和 x = -1。 这再次印证了我们之前求得的根。
• 对称性： 函数 f(x) = x² – 1 是一个偶函数，这意味着 f(x) = f(-x)。 图像关于 y 轴对称。

观察图像，我们可以更直观地理解 x² - 1 的行为：

• 当 x 接近正无穷或负无穷时，f(x) 的值也趋于正无穷。
• 当 x 位于 -1 和 1 之间时，f(x) 的值为负数。
• 当 x 小于 -1 或大于 1 时，f(x) 的值为正数。

4. 几何的视角：面积的差异

想象一个边长为 x 的正方形，其面积为 x² 。 现在，从这个正方形中切掉一个边长为 1 的正方形，剩下的面积就是 x² – 1。 我们已经知道 x² – 1 = (x + 1)(x – 1)。 这实际上可以将剩余面积切割并重新拼接成一个长为 (x + 1)，宽为 (x – 1) 的长方形！ 这个几何解释巧妙地将代数和几何联系起来。

5. 复数的扩展：更广阔的天地

虽然我们主要关注实数范围内的 x² - 1，但也可以将其扩展到复数领域。 在复数范围内，方程 x² – 1 = 0 仍然只有两个解：x = 1 和 x = -1。 但是，我们可以考虑更一般的情况，例如 x² + 1 = 0，它的解就是虚数 i 和 -i。 复数领域的讨论可以引发更深层次的思考，但这超出了本文的范围。

总结：

x² - 1 既可以简单地分解为 (x + 1)(x – 1)， 也可以看作一个二次函数，有着特定的图像和性质。 从求解方程的角度看，它代表着寻找函数的零点。 甚至可以通过几何方式，将其理解为面积的差异。 这些不同的视角，让我们对 x² - 1 及其背后的数学思想有了更全面、更深入的理解。 简单的问题，也能折射出数学世界的丰富多彩！