sec²(θ) – 1 = tan²(θ)
下面我们将从多个角度来详细解释这个三角恒等式，力求讲透。
1. 基础三角函数关系与定义
首先，我们要明确三个最基本的三角函数定义（基于单位圆）：
- 正弦 (sin θ): 单位圆上角度 θ 对应的点的 y 坐标。
- 余弦 (cos θ): 单位圆上角度 θ 对应的点的 x 坐标。
- 正切 (tan θ): sin θ / cos θ (也就是斜率)。
- 正割 (sec θ): 1 / cos θ
这些定义是构建所有三角恒等式的基础。
2. 勾股定理与三角恒等式
我们知道单位圆的方程是 x² + y² = 1。 将 x 和 y 替换为 cos θ 和 sin θ，我们得到：
cos²(θ) + sin²(θ) = 1 （这是一个非常重要的恒等式，被称为基本勾股三角恒等式）
这个公式直接来源于勾股定理在单位圆上的应用。
接下来，我们将这个公式除以 cos²(θ)：
(cos²(θ) / cos²(θ)) + (sin²(θ) / cos²(θ)) = 1 / cos²(θ)
化简后，我们得到：
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
最后，将 1 移到右边，就得到了我们想要的结论：
sec²(θ) – 1 = tan²(θ)
3. 图形解释 (Visualization)
想象一个直角三角形，其中 θ 是一个锐角。 设邻边为 x，对边为 y，斜边为 r。 那么：
- cos θ = x/r
- sin θ = y/r
- tan θ = y/x
- sec θ = r/x
根据勾股定理，x² + y² = r²。 将这个等式除以 x²，得到：
1 + (y/x)² = (r/x)²
也就是：
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
同样，移项得到：sec²(θ) – 1 = tan²(θ)
4. 记忆技巧 (Mnemonics)
很多人会忘记这些公式，所以记忆技巧很有帮助。 记住最基础的 cos²(θ) + sin²(θ) = 1，然后想一下如何通过除以 cos²(θ) 或 sin²(θ) 来得到其他恒等式。
另一种记忆方法是记住口诀： “1 + tan² = sec²“， 这可以有效地让你记住这个公式，然后通过简单的代数运算(减去 1)就可得到答案。
5. 应用举例 (Examples)
假设我们需要计算 tan²(π/3)。 我们知道 cos(π/3) = 1/2，所以 sec(π/3) = 2。
因此，sec²(π/3) = 4。
那么，tan²(π/3) = sec²(π/3) – 1 = 4 – 1 = 3。
或者，假设已知 sec(θ) = √5，求 tan²(θ)。 那么 tan²(θ) = (√5)² – 1 = 5 – 1 = 4。
6. 另一种推导方法 (Alternate Derivation)
从 tan²(θ) = (sin θ / cos θ)² 开始：
tan²(θ) = sin²(θ) / cos²(θ)
将分子中的 sin²(θ) 替换为 (1 – cos²(θ))：
tan²(θ) = (1 – cos²(θ)) / cos²(θ)
tan²(θ) = 1/cos²(θ) – cos²(θ)/cos²(θ)
tan²(θ) = sec²(θ) – 1
总结
通过对三角函数定义，勾股定理，图形以及多种推导方式的讲解，我们可以清晰地得出结论： sec²(θ) – 1 = tan²(θ)。 并且通过一些记忆方法和应用举例，相信你能够牢固地掌握这个三角恒等式。