首先，我们来面对这个熟悉的方程：

a² – a – 1 = 0

这是一个一元二次方程，它的身影在数学世界中随处可见，甚至隐藏着与自然之美相关的秘密。 我们将用几种不同的方式来解开它，并窥探它背后的故事。

方法一：公式法（标准解法）

最直接的方式就是应用一元二次方程的求根公式。 对于一般形式的方程 ax² + bx + c = 0，其根为：

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

在本题中，a = 1，b = -1，c = -1。 代入公式：

a = [1 ± √((-1)² – 4 * 1 * -1)] / (2 * 1)

a = [1 ± √(1 + 4)] / 2

a = [1 ± √5] / 2

所以，方程有两个根：

• a₁ = (1 + √5) / 2
• a₂ = (1 – √5) / 2

这两个根都是无理数，精确值需要用计算器才能得到近似值。

方法二：配方法（揭示内在结构）

配方法通过将二次表达式转化为完全平方的形式来求解。

a² – a – 1 = 0

首先，将常数项移到等号右边：

a² – a = 1

然后，在等号两边同时加上 (b/2a)²，也就是 (-1/2)² = 1/4，目的是将左边配成完全平方：

a² – a + 1/4 = 1 + 1/4

(a – 1/2)² = 5/4

现在，两边同时开平方：

a – 1/2 = ±√(5/4) = ±√5 / 2

最后，解出 a：

a = 1/2 ± √5 / 2

a = (1 ± √5) / 2

与公式法得到的结果一致，配方法展示了方程变形的过程，更清晰地体现了方程的结构。

方法三：图像法（直观感受）

我们可以将方程 a² – a – 1 = 0 看作函数 y = a² – a – 1 的零点（即函数图像与 x 轴的交点）。 通过绘制函数图像，可以直观地看到方程的根。

这个函数是一个开口向上的抛物线。 它的对称轴是 a = 1/2，顶点在 a = 1/2 处。 由于方程有两个不同的实根，所以抛物线与 x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的解。 我们可以粗略地估计这两个根的值，一个在 1 和 2 之间，另一个在 -1 和 0 之间。

黄金分割的秘密

有趣的是，其中一个根 a₁ = (1 + √5) / 2 正是著名的黄金分割比例，通常用希腊字母 φ (phi) 表示。 黄金分割在艺术、建筑和自然界中广泛存在，被认为是具有美学价值的比例。

a₁ = φ ≈ 1.618

另一个根 a₂ = (1 – √5) / 2 ≈ -0.618 是 -1/φ 或者说 -φ的倒数。

这说明方程 a² – a – 1 = 0 与黄金分割有着密切的联系。 我们可以验证一下：

如果 a = φ，那么 φ² – φ – 1 = 0 意味着 φ² = φ + 1。 这个关系式是黄金分割的重要性质。

总结

我们通过公式法、配方法和图像法，多种角度地解决了方程 a² – a – 1 = 0。 不仅得到了方程的两个根，还发现了它与黄金分割比例之间的深刻联系。 这个简单的方程背后，蕴藏着丰富的数学知识和美学价值。 它提醒我们，数学不仅仅是枯燥的公式和计算，更是探索世界和发现美的工具。