x³ – 1 等于什么？ 这个问题看似简单，实则蕴含着不少数学知识，让我们从不同的角度深入探讨：

一、基本代数分解：

这是最直接的解答方式。我们可以使用立方差公式进行分解：

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

记住这个公式非常重要，它在各种数学问题中都会频繁出现。这意味着 x³ – 1 可以分解成两个因式的乘积：(x – 1) 和 (x² + x + 1)。

二、寻找根：

如果我们将 x³ – 1 = 0 看作一个方程，那么我们就是在寻找方程的根，也就是使方程成立的 x 值。 显而易见，x = 1 是一个实数根，因为 1³ – 1 = 0。

但是，x² + x + 1 = 0 也有两个复数根。 我们可以用求根公式来找到它们：

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a 其中 a = 1, b = 1, c = 1

因此，x = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2

这两个复数根通常表示为：

• ω = (-1 + i√3) / 2
• ω² = (-1 – i√3) / 2

它们被称为立方单位根，具有许多有趣的性质，比如 ω³ = 1，以及 1 + ω + ω² = 0。

三、几何视角：

想象一个边长为 x 的立方体，它的体积是 x³。 现在，想象从这个立方体上切掉一个边长为 1 的小立方体。 那么剩下的体积就是 x³ – 1。 立方差公式实际上是将这个剩余体积分解成更容易理解的部分。 (x – 1) 可以看作是切掉小立方体后剩余边长的变化，而 (x² + x + 1) 则可以看作与这个变化相关的面积之和。 这种几何理解可以帮助我们更直观地感受立方差公式。

四、复数域的意义：

上面我们找到了三个根：1, ω, ω²。这三个根在复平面上均匀分布在一个单位圆上，彼此之间相隔 120 度。 这意味着 x³ – 1 = 0 在复数域内有三个解，并且它们构成了一个等边三角形。 这个结论在信号处理、量子力学等领域都有应用。

五、模运算的考量：

在模运算中，x³ – 1 可能等于不同的值，这取决于模数。例如，在模 5 运算中：

• 如果 x = 2, 则 x³ – 1 = 8 – 1 = 7 ≡ 2 (mod 5)
• 如果 x = 3, 则 x³ – 1 = 27 – 1 = 26 ≡ 1 (mod 5)

因此，在考虑 x³ – 1 时，也要注意其所处的数学环境。

总结：

总而言之，x³ – 1 可以用代数方法分解为 (x – 1)(x² + x + 1)。 当 x³ – 1 = 0 时，方程有三个解：一个实数解 x = 1 和两个复数解 ω 和 ω²。理解这个问题，需要结合代数分解、求根公式、几何直观以及复数域的知识， 甚至在特定的情况下，还需考虑模运算。