解题之旅：从简单方程到黄金分割
让我们一起踏上解开方程 x² – x – 1 = 0 之谜的旅程。这是一个简单的二次方程，但它隐藏着深刻的数学之美，以及与黄金分割的奇妙联系。
一、基础解法：公式法
首先，也是最直接的方法，就是使用万能的求根公式。对于一般的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解为：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
将 x² – x – 1 = 0 与一般形式对比，得到 a = 1, b = -1, c = -1。代入公式，我们得到：
x = (1 ± √((-1)² – 4 * 1 * -1)) / (2 * 1)
x = (1 ± √(1 + 4)) / 2
x = (1 ± √5) / 2
所以，方程有两个解：
- x₁ = (1 + √5) / 2
- x₂ = (1 – √5) / 2
二、配方法：优雅的变形
另一种解法是配方法，它能将方程转化为完全平方的形式。步骤如下：
- 将常数项移到等式右边： x² – x = 1
- 等式两边同时加上 (b/2)²，这里 b = -1，所以要加 (-1/2)² = 1/4： x² – x + 1/4 = 1 + 1/4
- 将左边写成完全平方的形式： (x – 1/2)² = 5/4
- 两边开方： x – 1/2 = ±√(5/4) = ±√5 / 2
- 解出 x： x = 1/2 ± √5 / 2 = (1 ± √5) / 2
再次，我们得到了和公式法相同的结果。
三、几何视角：图形的奥秘
我们可以用几何的方式来理解这个方程。想象一个面积为 1 的矩形。假设它的长为 x，宽为 x – 1。那么，根据矩形的面积公式，我们有 x(x-1) = 1，展开后就是 x² – x – 1 = 0。
这个矩形的特殊之处在于，如果从这个矩形中切掉一个边长为 x-1 的正方形，剩下的矩形和原来的矩形是相似的。这种相似性与黄金分割紧密相连。
四、深入挖掘：黄金分割的魅力
你可能已经注意到，其中一个解，x₁ = (1 + √5) / 2，正是黄金分割比 φ （读作phi） 的数值。黄金分割比是一个无理数，约等于 1.618。它广泛存在于自然界、艺术和建筑中，被认为是具有美学价值的比例。
为什么 x² – x – 1 = 0 的解是黄金分割比呢？ 这源于黄金分割的定义。如果一条线段被分为两部分，较长部分 a 与整体长度之比，等于较短部分 b 与较长部分 a 之比，那么这个比例就是黄金分割比，即 a/ (a+b) = b/a 。 令这个比例为 φ，经过简单的代数运算，就能得到 φ² – φ – 1 = 0。
五、负数解：数学的完整性
方程的另一个解，x₂ = (1 – √5) / 2，是一个负数，约等于 -0.618。虽然它在几何上的意义不如黄金分割那么直观，但在数学上，它是方程的完整解的一部分。它满足方程本身，并且与黄金分割比之间存在着巧妙的联系：它等于 -1/φ。
六、迭代求解：逼近的艺术
除了上述方法，我们还可以使用迭代法来逼近方程的解。将方程改写为 x = √(x + 1) 或 x = 1 + 1/x。然后，我们可以从一个初始值开始，不断迭代计算，直到结果收敛。例如，对于 x = √(x + 1)，我们可以从 x = 1 开始：
- x₁ = √(1 + 1) = √2 ≈ 1.414
- x₂ = √(√2 + 1) ≈ 1.554
- x₃ = √(1.554 + 1) ≈ 1.598
- …
经过多次迭代，结果会越来越接近黄金分割比。
七、总结：数学的奇妙连接
仅仅一个看似简单的二次方程 x² – x – 1 = 0，却将我们引向了如此丰富的数学世界。它不仅可以用多种方法求解，还与黄金分割、几何图形和迭代逼近等概念紧密相连。 这也正是数学的魅力所在：简洁的表达式背后，蕴藏着无穷的奥秘和深刻的联系。 探索数学，就像探索一片未知的土地，每一步都可能发现新的宝藏。