x² – 1 等于什么？这是一个看似简单，实则蕴含丰富数学内涵的问题。它的答案，取决于我们从哪个角度去审视它。下面，我们从不同的视角来深入剖析。
1. 直接因式分解：最简洁的表达
最直接的答案是：
x² – 1 = (x + 1)(x – 1)
这运用了平方差公式，是代数中最基础也最重要的公式之一。它将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。这在解方程、化简表达式等方面都有广泛应用。
2. 作为函数：探究其性质
我们可以将 x² – 1 看作一个函数 f(x) = x² – 1。这时，我们需要关注它的性质：
- 图像： 它是一个开口向上的抛物线，顶点位于 (0, -1) 。
- 零点： 它的零点，即 f(x) = 0 的解，是 x = 1 和 x = -1。这与因式分解的结果 (x + 1)(x – 1) = 0 相呼应。
- 对称性： 函数是偶函数，即 f(x) = f(-x)。这意味着图像关于 y 轴对称。
- 值域： 函数的最小值是 -1，值域是 [-1, +∞)。
3. 解方程：寻找特定的解
如果我们将 x² – 1 设为等于某个特定的值，例如 0、3、8，那么我们就得到了一个方程。解方程的过程就是在寻找满足该等式的 x 的值。
- x² – 1 = 0 的解： x = ±1。
- x² – 1 = 3 的解： x = ±2。
- x² – 1 = 8 的解： x = ±3。
更一般地，x² – 1 = a (a 是一个常数) 的解是 x = ±√(a + 1)。
4. 几何意义：平方差的几何解释
平方差公式 (x + 1)(x – 1) = x² – 1 也可以从几何角度进行理解。
想象一个边长为 x 的正方形，其面积为 x²。现在，我们从中挖去一个边长为 1 的小正方形，剩余面积为 x² – 1。
我们可以将剩余部分切割成两个矩形，一个长为 x，宽为 x – 1，另一个长为 1，宽为 x – 1。然后，将第二个矩形平移，拼接到第一个矩形旁边，得到一个更大的矩形，其长为 x + 1，宽为 x – 1。因此，该矩形的面积为 (x + 1)(x – 1)，这也等于 x² – 1。
5. 在极限中的应用：隐藏的身份
在求极限时，x² – 1 可能以一种隐藏的形式出现。 例如：
lim (x->1) (x² - 1) / (x - 1)
如果直接代入 x = 1，我们会得到 0/0 的不定式。但通过因式分解，我们可以化简：
lim (x->1) (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = lim (x->1) (x + 1) = 2
6. 更广阔的视角：在复数域中
如果将 x 扩展到复数域，那么 x² – 1 仍然可以分解为 (x + 1)(x – 1)，只是这里的 x 可以是复数。例如，如果 x = i (虚数单位，i² = -1)，那么 x² – 1 = -1 – 1 = -2。
总结：
x² – 1 不仅仅是一个简单的代数式，它代表着一种数学关系，可以从代数、函数、几何等多个角度进行分析和理解。它的意义在于帮助我们理解数学世界的普遍规律，并应用于各种实际问题中。希望以上不同视角的解读能帮助你更透彻地理解 “x² – 1 等于什么”。