好的，下面我们来深入探讨方程 x² – 3x – 12 = 0。
一、问题解读：这是个什么类型的家伙？
首先，我们看到这是一个一元二次方程。 “一元”意味着方程里只有一个未知数，就是我们的 x。 “二次”则表明 x 的最高次数是 2 (x²)。一般的形式是 ax² + bx + c = 0，而在这个例子中，a = 1, b = -3, c = -12。
二、方法一：公式法——简单粗暴有效
解一元二次方程，最经典的莫过于求根公式了。 这个公式就像一把瑞士军刀，啥类型的二次方程都能开。 公式如下：
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)
把 a = 1, b = -3, c = -12 代入：
x = [3 ± √((-3)² – 4 * 1 * -12)] / (2 * 1)
x = [3 ± √(9 + 48)] / 2
x = [3 ± √57] / 2
因此，方程有两个解：
- x₁ = (3 + √57) / 2 ≈ (3 + 7.55) / 2 ≈ 5.28
- x₂ = (3 – √57) / 2 ≈ (3 – 7.55) / 2 ≈ -2.28
三、方法二：配方法——深入理解二次方程本质
配方法的核心思想是将方程变形为 (x + m)² = n 的形式，然后通过开平方来求解。 这可以让我们更直观地理解二次方程的解的来源。
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将常数项移到等式右边：
x² – 3x = 12
2. 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是 (-3/2)² = 9/4：x² – 3x + 9/4 = 12 + 9/4
3. 将等式左边写成完全平方的形式：(x – 3/2)² = 48/4 + 9/4
(x – 3/2)² = 57/4
4. 两边同时开平方：x – 3/2 = ±√(57/4)
x – 3/2 = ±√57 / 2
5. 解出 x：x = 3/2 ± √57 / 2
x = (3 ± √57) / 2
与公式法得到的结果完全一致，验证了两种方法的正确性。
四、方法三：图像法——直观感受解的意义
想象一下函数 y = x² – 3x – 12 的图像。 这是一个开口向上的抛物线。 方程 x² – 3x – 12 = 0 的解，实际上就是这条抛物线与 x 轴的交点的 x 坐标。
虽然我们不能精确地通过图像读出解，但是我们可以大致估计它们的位置。 因为抛物线是连续的，所以当 y 的值从负数变为正数（或反过来）时，它必然穿过 x 轴，也就是 y = 0 的地方。
通过绘制草图（或者使用图形计算器），我们可以看到抛物线与 x 轴有两个交点，一个在 x ≈ 5 附近，另一个在 x ≈ -2 附近，与我们之前计算的结果非常接近。
五、判别式——提前预知解的情况
在公式法中，根号下的部分，也就是 b² – 4ac，被称作判别式，通常用 Δ (Delta) 表示。 它能告诉我们方程解的性质，而无需真正解方程：
- 如果 Δ > 0： 方程有两个不相等的实数根。 (本例中，Δ = 57 > 0)
- 如果 Δ = 0： 方程有两个相等的实数根（也称为一个重根）。
- 如果 Δ < 0： 方程没有实数根，只有两个共轭复数根。
六、解的意义，数学之外的思考
虽然我们找到了方程的解，但是理解解的意义也很重要。在实际问题中，x 可能代表长度、时间、数量等等。解出来的 x 值是否合理，取决于具体的问题背景。 例如，如果 x 代表某个物体的长度，那么负数解就没有意义。
总之，解方程不仅仅是机械地套用公式，更是理解数学模型、解决实际问题的一个重要环节。希望以上讲解能让你对 x² – 3x – 12 = 0 这个方程有了更深入的了解！