secx的平方减一等于

sec²x – 1 = tan²x

这可能是三角函数里最基础也是最重要的恒等式之一。它像一块基石，支撑着许多更复杂的三角运算，更是微积分中不可或缺的组成部分。让我们从不同角度，把这个等式彻底解剖，彻底理解。

1. 几何视角：单位圆的魅力

想象一个单位圆（半径为1的圆）在直角坐标系中，圆心位于原点。在圆上取一点P(x, y)，连接原点O和点P，得到一条半径OP。设OP与x轴正方向的夹角为x。

x, y 的定义: 根据三角函数的定义，我们有：cosx = x，sinx = y。
正切的定义: tanx = y/x = sinx / cosx。
正割的定义: secx = 1/cosx。
勾股定理的运用: 由于是单位圆，满足 x² + y² = 1。将x = cosx 和 y = sinx代入，我们得到 cos²x + sin²x = 1。这是另一个重要的三角恒等式。

现在，对这个等式 cos²x + sin²x = 1 两边同时除以 cos²x，得到：

1 + (sin²x / cos²x) = 1 / cos²x

根据正切和正割的定义，可以将上式写成：

1 + tan²x = sec²x

移项，立刻得到：

sec²x – 1 = tan²x

这种方法利用了几何直观，将三角函数和单位圆紧密联系，便于理解。

2. 代数推导：纯数学的优雅

我们从最基础的三角函数关系开始：

我们目标是得到 sec²x 和 tan²x，而它们又分别和cosx和sinx相关。所以，我们决定将等式两边同时除以cos²x。这样做是合理的，只要 cosx ≠ 0 (即 x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z)。

(sin²x / cos²x) + (cos²x / cos²x) = 1 / cos²x

简化得到：

tan²x + 1 = sec²x

再次移项：

sec²x – 1 = tan²x

这种方法简洁明了，体现了代数推导的严谨性。

3. 微积分的应用：微分的奥秘

虽然理解这个等式本身并不需要微积分，但是知道它在微积分中的应用，能加深理解，明白它的重要性。

考虑函数 tanx 的导数。利用商的导数公式：

(tanx)’ = (sinx / cosx)’ = (cosx * cosx – sinx * (-sinx)) / cos²x = (cos²x + sin²x) / cos²x = 1 / cos²x = sec²x

因此，tanx 的导数是 sec²x。

现在，考虑 tan²x 的积分。可以用 sec²x – 1 替换 tan²x：

∫tan²x dx = ∫(sec²x – 1) dx = ∫sec²x dx – ∫1 dx = tanx – x + C

可以看到，如果没有这个恒等式，tan²x 的积分会变得更加复杂。

4. 实际应用：简化表达式

在解决三角函数相关的题目时，sec²x – 1 = tan²x 经常被用来简化表达式或者进行变量替换。

例如，在积分中，如果遇到包含 sec²x – 1 的项，可以立即替换为 tan²x，从而简化积分过程。在解三角方程的时候，如果出现 sec²x 和 tan²x 的混合项，可以用这个等式消去一个，降低方程的复杂程度。

总结：

sec²x – 1 = tan²x 这个看似简单的等式，背后蕴含着深刻的数学思想。无论是从几何角度，代数角度，还是微积分角度，都能对它有更深入的理解。记住它，灵活运用它，会让你在三角函数的世界里游刃有余。