cosx 的平方减一等于什么？答案是 -sin²x。这个结论来源于一个基础且重要的三角恒等式：
sin²x + cos²x = 1
理解这个等式是理解 “cos²x – 1 = -sin²x” 的关键。现在我们来深入探讨：
1. 直观推导（代数角度）:
最直接的方法就是对恒等式进行简单的移项：
- sin²x + cos²x = 1
- cos²x = 1 – sin²x
- cos²x – 1 = -sin²x
就这么简单！我们通过基本的代数操作就得到了答案。
2. 单位圆解释（几何角度）:
单位圆是理解三角函数的强大工具。 考虑单位圆上的任意一点 (x, y)，它与原点 (0, 0) 的距离为 1。
- cos x 代表该点 x 坐标。
- sin x 代表该点 y 坐标。
根据勾股定理： x² + y² = 1。 将 x 和 y 替换成 cos x 和 sin x，我们就得到了 sin²x + cos²x = 1。
现在，想象一下 cos²x – 1。 它相当于 x² – 1，这实际上是 -y² (因为 x² + y² = 1 => y² = 1 – x²)。 而 -y² 正好是 -sin²x。
3. 从图像上看（图形角度）：
我们可以通过观察函数图像来佐证这个结论。
- cos²x 的图像: 是一个非负的，周期为 π 的波浪线，值域为 [0, 1]。
- cos²x – 1 的图像: 仅仅是 cos²x 的图像向下平移 1 个单位，它的值域为 [-1, 0]。
- -sin²x 的图像: sin²x 的图像关于 x 轴对称，也是一个非正的，周期为 π 的波浪线，值域为 [-1, 0]。
通过对比 cos²x – 1 和 -sin²x 的图像，你会发现它们完全重合。
4. 应用场景（实用角度）：
理解 cos²x – 1 = -sin²x 在很多三角函数化简、解方程、积分运算中都非常有用。 举个例子：
- 简化表达式: 假设你遇到一个复杂的表达式，其中包含 cos²x – 1， 就可以直接替换成 -sin²x，从而简化问题。
- 三角积分: 在积分中，有时候将 cos²x 转换成 1 – sin²x (或者将 cos²x – 1 转换成 -sin²x) 可以更容易地找到原函数。
5. 另一种思考方式 (补充角度):
考虑 cos²x – 1 = (cosx + 1)(cosx – 1)。 这本身也是一种变形，虽然直接推出 -sin²x 可能不那么明显，但它表明了 cos²x – 1 可以被分解成两个因子乘积的形式，这在某些情况下也很有用。
总结：
cos²x – 1 等于 -sin²x。这个结论不仅仅是一个公式，它背后蕴含着深刻的几何意义和广泛的应用价值。 通过代数推导、单位圆解释、图像分析以及应用场景的展示，我们希望能够帮助你更透彻地理解这个恒等式。 记住它，你会在解决三角函数相关问题时更加得心应手！