答案： sec²θ – 1 = tan²θ
详细讲解：
我们要探讨的是一个三角恒等式，它源于我们对三角函数之间关系的深刻理解。 为了彻底弄懂sec²θ – 1 等于什么，我们需要从最基础的勾股定理开始，然后逐步推导出结论。
1. 勾股定理与三角函数：
想象一个直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c。根据勾股定理，我们有：
a² + b² = c²
现在，我们引入三角函数。假设直角三角形中一个锐角为θ，那么：
- sin θ = 对边 / 斜边 = a / c
- cos θ = 邻边 / 斜边 = b / c
- tan θ = 对边 / 邻边 = a / b
2. 构建基本三角恒等式：
将勾股定理 a² + b² = c² 两边同时除以 c²，得到：
(a/c)² + (b/c)² = 1
将sin θ 和 cos θ 代入，得到：
sin²θ + cos²θ = 1 （这是一个非常重要的三角恒等式，务必牢记！）
3. 推导 sec²θ 的定义：
sec θ （正割）的定义是 cos θ 的倒数，即：
sec θ = 1 / cos θ
因此，sec²θ = (1 / cos θ)² = 1 / cos²θ
4. 导出 sec²θ – 1 = tan²θ 的过程：
回到我们之前得到的恒等式：sin²θ + cos²θ = 1
将等式两边同时除以 cos²θ，得到：
(sin²θ / cos²θ) + (cos²θ / cos²θ) = 1 / cos²θ
简化一下：
tan²θ + 1 = sec²θ (因为 sin θ / cos θ = tan θ 且 1 / cos θ = sec θ)
现在，只需要简单地移项，将1移到等式右边：
sec²θ – 1 = tan²θ
5. 结论：
因此，我们得出结论：sec²θ – 1 = tan²θ。
6. 多角度理解：
- 几何角度： 你可以将这个恒等式看作是描述直角三角形边长之间关系的另一种方式，它将正切和正割函数联系起来。想象θ角度的改变，会导致tanθ和secθ值的相应改变，而它们始终满足这个等式。
- 单位圆角度： 在单位圆中，任何角度θ对应一个点(cos θ, sin θ)。 tan θ 可以表示过原点的直线与 x=1 这条直线的交点的 y 坐标。而 sec θ则与原点到 (1, tan θ)点的距离有关。
7. 重要性：
这个三角恒等式在三角函数相关的各种计算和证明中都非常有用。 它经常用于简化表达式、求解方程和推导其他公式。 记住它，你将在三角函数的学习中受益匪浅。
举例说明：
假设需要简化一个表达式： sec²(π/4) – 1。
我们知道 sec(π/4) = √2 （因为cos(π/4) = √2 / 2）。因此，
sec²(π/4) – 1 = (√2)² – 1 = 2 – 1 = 1
根据我们的结论， sec²(π/4) – 1 应该等于 tan²(π/4)。 验证一下：
tan(π/4) = 1， 所以 tan²(π/4) = 1² = 1
两者结果一致，验证了公式的正确性。
总而言之， sec²θ – 1 = tan²θ 是一个重要的三角恒等式，它来源于勾股定理和三角函数的定义。 通过理解这个恒等式的推导过程和几何意义，你可以更好地掌握三角函数的相关知识。