1 – sin(x) = cos(x)？ 抽丝剥茧，多角度解析
等式 1 – sin(x) = cos(x) 乍一看似乎违反直觉，毕竟正弦和余弦函数的取值都在 -1 和 1 之间。但它确实存在解，并且蕴含着一些有趣的数学性质。下面我们将从多个角度来剖析这个问题：
1. 代数方法：移项与平方
这是最直接的解题思路：
- 移项： 将等式变形为 1 = sin(x) + cos(x)
- 平方： 两边同时平方得到 1 = sin2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos2(x)
- 化简： 利用三角恒等式 sin2(x) + cos2(x) = 1，简化为 0 = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
所以，sin(2x) = 0，这意味着 2x = kπ，其中 k 为整数。 因此， x = kπ/2， 即 x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π, …
重要提示： 平方操作可能会引入增根，需要验根！
将 x = 0, π/2, π, 3π/2 代入原方程 1 – sin(x) = cos(x) 检验：
- x = 0: 1 – sin(0) = 1 – 0 = 1 = cos(0) (√ 正确)
- x = π/2: 1 – sin(π/2) = 1 – 1 = 0 = cos(π/2) (√ 正确)
- x = π: 1 – sin(π) = 1 – 0 = 1 ≠ cos(π) = -1 (× 错误，增根！)
- x = 3π/2: 1 – sin(3π/2) = 1 – (-1) = 2 ≠ cos(3π/2) = 0 (× 错误，增根！)
所以，方程的解为 x = 2kπ 和 x = π/2 + 2kπ, k为整数。
2. 几何方法：单位圆
在单位圆上，sin(x) 代表点 (cos(x), sin(x)) 的纵坐标，cos(x) 代表横坐标。 方程 1 – sin(x) = cos(x) 可以理解为：从点 (0,1) 到点 (cos(x), sin(x)) 的水平距离等于 cos(x)。
- 观察单位圆，当 x = 0 时，(cos(0), sin(0)) = (1,0)。 1 – sin(0) = 1 = cos(0)，成立。
- 当 x = π/2 时，(cos(π/2), sin(π/2)) = (0,1)。 1 – sin(π/2) = 0 = cos(π/2)，成立。
考虑从 (0,1) 向右移动一个距离 cos(x) 后，y坐标下降 sin(x)，才能到达(cos(x), sin(x)) 。这种几何关系直观地展现了方程解的存在性。但这种方法难以精确求出所有解，主要作用是提供直观理解。
3. 函数图像法
我们可以将方程视为两个函数： y1 = 1 – sin(x) 和 y2 = cos(x)。方程的解就是这两个函数图像的交点对应的 x 值。
- 绘制 y1 = 1 – sin(x) 和 y2 = cos(x) 的图像。
- 观察图像，可以看到它们在 x = 0 和 x = π/2 处相交（以及它们周期性重复的点）。
- 这种方法可视化了解的分布，帮助我们验证代数方法的正确性。
4. 万能公式与半角替换
万能公式（也称为半角公式）可以将三角函数用 tan(x/2) 表示：
- sin(x) = (2t)/(1+t2) 其中 t = tan(x/2)
- cos(x) = (1-t2)/(1+t2)
将这两个公式代入原方程 1 – sin(x) = cos(x)：
1 – (2t)/(1+t2) = (1-t2)/(1+t2)
两边乘以 (1+t2) 得到：
1 + t2 – 2t = 1 – t2
化简： 2t2 – 2t = 0 => 2t(t-1) = 0
所以 t = 0 或 t = 1
- t = 0 => tan(x/2) = 0 => x/2 = kπ => x = 2kπ
- t = 1 => tan(x/2) = 1 => x/2 = π/4 + kπ => x = π/2 + 2kπ
同样，需要验证，但这里的计算更简洁。
5. 变换角度：考虑导数
如果我们把方程看作一个隐函数 F(x,y) = 1 – y – x = 0 (其中 y = sinx, x = cosx), 那么尝试求导没有太多意义。
但是，换个思路，考虑变换后的函数：
f(x) = 1 – sin(x) – cos(x)
解f(x) = 0
f'(x) = -cos(x) + sin(x)
观察f'(x), 可以分析函数f(x) 的单调性和极值，虽然不能直接解方程，但可以帮助我们更好地理解解的性质。例如，可以确认在哪些区间内只有一个解，或者是否存在多个解。
总结
等式 1 – sin(x) = cos(x) 的解为 x = 2kπ 和 x = π/2 + 2kπ，k为整数。 解决这个问题的关键在于：
- 灵活运用三角恒等式
- 平方操作后必须验根
- 结合几何和函数图像进行可视化分析
- 熟练掌握万能公式
通过多种方法解析，我们不仅得到了方程的解，更深入地理解了三角函数之间的关系。 每种方法都从不同的角度提供了洞察力，帮助我们全面理解这个问题。