sin²x – 1 等于什么？ 答案是 -cos²x 。 让我们用几种方式来剖析这个简单的恒等式，保证让你彻底明白！
1. 毕达哥拉斯恒等式（三角学的基石）
三角学中最重要的关系之一是毕达哥拉斯恒等式：
sin²x + cos²x = 1
这个公式源于直角三角形的定义，其中 sin x = 对边 / 斜边，cos x = 邻边 / 斜边。 根据勾股定理（a² + b² = c²），这个公式总是成立的。
2. 推导 -cos²x
现在，我们从毕达哥拉斯恒等式出发，推导出 sin²x – 1 的值：
- 首先，写下毕达哥拉斯恒等式： sin²x + cos²x = 1
- 然后，从等式两边同时减去 1： sin²x + cos²x – 1 = 1 – 1
- 简化得到： sin²x + cos²x – 1 = 0
- 现在，从等式两边同时减去 cos²x： sin²x – 1 = -cos²x
结论： sin²x – 1 = -cos²x
3. 几何直观（可视化理解）
想象一个单位圆（半径为 1 的圆）。 圆上的任何点都可以表示为 (cos x, sin x)，其中 x 是该点与 x 轴正半轴之间的角度。
- sin²x 表示该点的 y 坐标的平方。
- cos²x 表示该点的 x 坐标的平方。
因为圆的半径为 1，所以任何点的 x 坐标和 y 坐标的平方和必须等于 1 (cos²x + sin²x = 1)。
当计算 sin²x – 1 时，实际上是从 sin²x 中减去整个半径的平方。 换句话说，我们是在 sin²x 的基础上，向下移动了一个单位的距离。 这个结果与 -cos²x 相同，因为 cos²x 是从 1 中减去 sin²x 后的剩余部分，再取负值。
4. 函数图像（另一种视角）
我们可以绘制函数 y = sin²x – 1 和 y = -cos²x 的图像。 你会发现这两个图像完全重合。 这直观地证明了这两个表达式是等价的。
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sin²x – 1 的图像： 是一个以 x 轴为对称轴，向下平移了一个单位的 sin²x 函数。
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-cos²x 的图像： 是一个以 x 轴为对称轴，翻转了符号的 cos²x 函数。
5. 举例验证（实际应用）
假设 x = 30° (π/6 弧度)：
- sin(30°) = 1/2， 所以 sin²(30°) = (1/2)² = 1/4
- sin²(30°) – 1 = 1/4 – 1 = -3/4
现在，计算 -cos²(30°)：
- cos(30°) = √3/2， 所以 cos²(30°) = (√3/2)² = 3/4
- -cos²(30°) = -3/4
结果相同，验证了 sin²x – 1 = -cos²x。
6. 另一种推导（灵活运用公式）
我们也可以这样推导：
sin²x – 1 = -(1 – sin²x)
利用毕达哥拉斯恒等式，我们知道 1 – sin²x = cos²x， 所以：
sin²x – 1 = -cos²x
总结
sin²x – 1 总是等于 -cos²x。 无论你选择使用毕达哥拉斯恒等式，几何直观，函数图像，还是举例验证，最终都会得出相同的结论。 掌握这个简单的恒等式，可以帮助你简化三角表达式，解决更复杂的问题。