sin2a – cos2a 等于多少？ 这个问题看似简单，实际上包含了三角函数多个重要的知识点。 答案并非一个具体的数值，而是一个可以进行多种变形和表达的式子。 接下来，我们将从不同角度剖析它。

一、直接应用倍角公式：

这是最直接的方式。 我们知道：

• sin2a = 2sin(a)cos(a)
• cos2a = cos²(a) – sin²(a)

因此：

sin2a – cos2a = 2sin(a)cos(a) – (cos²(a) – sin²(a))
= 2sin(a)cos(a) – cos²(a) + sin²(a)
= sin²(a) + 2sin(a)cos(a) – cos²(a)

虽然这看起来是最终结果，但我们可以继续变形。

二、变形与辅助角公式：

sin2a – cos2a 的表达式与辅助角公式有着天然的联系。 为了更好地观察，我们可以将它乘以并除以√2：

sin2a – cos2a = √2 * ( (1/√2)sin2a – (1/√2)cos2a )

注意到 1/√2 正好是 sin(π/4) 和 cos(π/4) 的值。 因此，我们可以将上述表达式转化为：

√2 * ( cos(π/4)sin2a – sin(π/4)cos2a )

利用正弦的差角公式 sin(A – B) = sinAcosB – cosAsinB， 得到：

sin2a – cos2a = √2 * sin(2a – π/4)

或者，我们也可以将其转化为余弦形式：

√2 * ( sin(π/4)sin2a – cos(π/4)cos2a )
= -√2 * ( cos(π/4)cos2a – sin(π/4)sin2a )
= -√2 * cos(2a + π/4)

重点： sin2a – cos2a = √2 * sin(2a – π/4) = -√2 * cos(2a + π/4) 这是非常重要的一个结论。

三、几何意义 (单位圆视角)：

想象一个单位圆。 令点 P 的坐标为 (cos2a, sin2a)。 那么， sin2a – cos2a 可以看作点 P 的纵坐标减去横坐标。 观察这个差值，我们可以将其与一条经过原点的直线 y = x 联系起来。 sin2a – cos2a 的值与点 P 距离直线 y=x 的关系息息相关， 虽然不能直接用距离表示， 但提供了一种新的理解思路。

四、函数性质：

考虑函数 f(a) = sin2a – cos2a。 我们已经知道 f(a) = √2 * sin(2a – π/4)。 从这个形式可以看出：

• 周期性： 函数的周期为 π。
• 振幅： 函数的振幅为 √2。
• 相位： 函数的相位是 -π/4 （相对于标准的正弦函数 sin2a）。
• 最值： 最大值为 √2，最小值为 -√2。

总结：

sin2a – cos2a = sin²(a) + 2sin(a)cos(a) – cos²(a) = √2 * sin(2a – π/4) = -√2 * cos(2a + π/4)

这个问题最好的答案是 √2 * sin(2a – π/4) 或者 -√2 * cos(2a + π/4)。 这不仅给出了一个简洁的表达式，还揭示了函数的周期性、振幅和相位等重要性质。 理解这些变形和背后的原理， 比记住一个孤立的公式更有价值。