sinx – cosx 等于什么？ 这个问题看似简单，实则背后蕴藏着丰富的三角函数知识。 答案并非一个单一的值，而是一个可以进行变形的表达式。 下面我们从不同角度来剖析它。

一、直接解答：变形与恒等式

最直接的答案是：sinx – cosx 可以通过恒等变换进行改写。 常用的变形方法是引入辅助角：

1. 化为单一三角函数形式：

• 引入辅助角 φ: 目标是将 sinx – cosx 转化为 Asin(x + φ) 或者 Acos(x + φ) 的形式。
• 系数提取： 提取系数的平方和的平方根，即 √(1² + (-1)²) = √2 。 这样做是为了构造三角恒等式。

• 变形过程：

  sinx – cosx = √2 * ( (1/√2)sinx – (1/√2)cosx )

  观察到 1/√2 = cos(π/4) = sin(π/4) 。 因此，我们可以将上式写成：

  sinx – cosx = √2 * ( cos(π/4)sinx – sin(π/4)cosx ) = √2 * sin(x – π/4)

  或者

  sinx – cosx = √2 * ( sin(π/4)sinx – cos(π/4)cosx) = -√2 * cos(x + π/4)

• 结论： 因此， sinx – cosx = √2 * sin(x – π/4) = -√2 * cos(x + π/4) 。 这就是最常见的也是最重要的变形形式。

2. 重要性： 这种形式的变形非常重要，因为它将一个包含两种三角函数的表达式简化为一个单一的三角函数，这使得：

• 更容易求解方程： 如果 sinx – cosx = a， 那么就可以转化为 sin(x – π/4) = a/√2 来解。
• 更容易分析性质： 函数 √2 * sin(x – π/4) 的振幅、周期、相位等性质一目了然。
• 更容易求导积分： 单一三角函数的导数和积分更容易计算。

二、几何意义：从单位圆的角度理解

单位圆是理解三角函数的强大工具。

• 点坐标： 在单位圆上，坐标为 (cosx, sinx) 的点代表角度 x 对应的三角函数值。
• 向量： sinx – cosx 可以看作两个向量在 y 轴上的投影之差： 向量 (cosx, sinx) 和向量 (1, 0) 投影到 y轴。 更进一步，可以抽象成两个向量的线性组合。
• 变化： 当 x 变化时，点 (cosx, sinx) 在单位圆上移动，sinx 和 cosx 的差值也会随之变化。 观察单位圆，可以直观地看到 sinx – cosx 的正负性和大小变化规律。 例如，当 x = π/4 时，sinx = cosx，所以 sinx – cosx = 0。
• 辅助角： 引入辅助角，实际上是在对坐标进行旋转平移，以使得问题简化。

三、函数图像：可视化sinx – cosx

我们可以通过绘制函数 y = sinx – cosx 的图像来直观了解它的性质。

• 图像特征： 该图像是一个正弦曲线，只不过经过了振幅变化和相位平移。
• 振幅： 振幅为 √2， 这与我们之前的变形结果一致。
• 周期： 周期为 2π，与 sinx 和 cosx 的周期相同。
• 相位： 相位平移为 π/4，这意味着该曲线相对于 y = sinx 向右平移了 π/4 个单位。
• 极值： 图像可以清晰地显示函数的最大值、最小值以及零点。 例如，当 x = 3π/4 时，函数取得最大值 √2。 当 x = π/4 和 x = 5π/4 时，函数值为0。

四、应用举例：三角方程与不等式

sinx – cosx 的变形在解决三角方程和不等式问题时非常有用。

• 例1：解方程 sinx – cosx = 1

  将方程变形为 √2 * sin(x – π/4) = 1，则 sin(x – π/4) = 1/√2。
  因此，x – π/4 = π/4 + 2kπ 或 x – π/4 = 3π/4 + 2kπ (k ∈ Z)。
  解得 x = π/2 + 2kπ 或 x = π + 2kπ (k ∈ Z)。

• 例2：解不等式 sinx – cosx > 0

  将不等式变形为 √2 * sin(x – π/4) > 0，则 sin(x – π/4) > 0。
  因此，2kπ < x – π/4 < π + 2kπ (k ∈ Z)。
  解得 π/4 + 2kπ < x < 5π/4 + 2kπ (k ∈ Z)。

五、总结：

sinx – cosx 本身不是一个固定的值，而是一个表达式。 它的核心价值在于可以灵活变形为 √2 * sin(x – π/4) 或 -√2 * cos(x + π/4)。 这种变形不仅简化了表达式，也使得求解三角方程、分析函数性质以及解决相关问题变得更加容易。 从几何意义、函数图像到应用举例，都充分展现了这种变形的强大之处。 掌握这种变形技巧，可以更深入地理解和运用三角函数。