x² – 4 = ?，看似简单的等式，实则蕴含着丰富的数学内涵。我们可以从多个角度剖析它。

1. 基本代数求解:

这是最直接的方法。我们需要找出使得等式成立的 x 的值。

x² – 4 = 0

我们可以用多种方法解这个方程：

• 因式分解: 这是最优雅的方法。 我们观察到 x² – 4 是一个平方差，可以分解为 (x + 2)(x – 2)。 因此：

  (x + 2)(x – 2) = 0

  根据零积性质，如果两个数的乘积为零，那么至少有一个数必须为零。 所以，要么 x + 2 = 0，要么 x – 2 = 0。

  • 如果 x + 2 = 0，那么 x = -2。
  • 如果 x – 2 = 0，那么 x = 2。

  因此，方程的解为 x = 2 和 x = -2。

• 直接开平方: 将等式变形：

  x² = 4

  两边同时开平方，记得考虑正负根：

  x = ±√4

  x = ±2

  同样得到 x = 2 和 x = -2。

2. 函数与图像:

我们可以将 x² – 4 视为一个函数 f(x) = x² – 4。 那么求解 x² – 4 = 0 就等价于找到函数 f(x) 的零点，也就是函数图像与 x 轴的交点。

• 图像性质: f(x) = x² – 4 是一个开口向上的抛物线。 它的对称轴是 y 轴 (x = 0)。 顶点是 (0, -4)。
• 零点: 通过观察图像，我们可以看到抛物线与 x 轴有两个交点，分别是 (-2, 0) 和 (2, 0)。 这两个点的 x 坐标就是方程的解。

3. 平方差公式：

再次强调， x² – 4 = x² – 2² 完全符合平方差公式 a² – b² = (a + b)(a – b) 的形式。 这是一个非常有用的代数恒等式，在各种数学问题中都会遇到。

4. 应用场景：

• 几何: 假设我们有一个面积为 x² 的正方形，我们从中减去一个面积为 4 的小正方形，剩下的面积是多少？ 或者，求解一个长为 x+2，宽为 x-2 的矩形的面积。

• 物理: 某些物理问题中，某个量的平方与 4 之间存在关系，那么求解该量的值，就可能涉及到解 x² – 4 = 0 这样的方程。

5. 拓展与变式：

• 不等式: 考虑 x² – 4 > 0 或者 x² – 4 < 0。 这将变成一个不等式问题，求解 x 的取值范围。 可以使用数轴分析，或者根据函数图像的性质来判断。

• 复杂方程: 将 x² – 4 作为更复杂方程的一部分。 例如，(x² – 4)² + 3(x² – 4) – 10 = 0。 可以使用整体代换的思想，令 y = x² – 4， 将原方程转化为关于 y 的二次方程。

总结：

x² – 4 = 0 虽然简单，却涵盖了代数求解、函数图像、平方差公式等多个重要的数学概念。 通过不同的视角审视这个问题，可以加深我们对数学的理解，并提升解决问题的能力。 记住，数学学习的关键在于理解其背后的思想，而不是死记硬背公式。