x² – 1 = ? 这看似简单的一个表达式，背后却蕴藏着丰富的内容，它既可以是一个普通的代数式，也可以是一个方程，更可以与函数、图像联系起来。让我们从不同的角度，一层层地剥开它的面纱。

1. 作为代数式：恒等变形的魔术

当 x² – 1 仅仅作为一个代数式存在时，我们最常想到的是它的因式分解。这可是中学数学的基础技能：

x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

这被誉为“平方差公式”，它在简化计算、解决更复杂的代数问题中起着至关重要的作用。例如，在遇到如下表达式时：

(x + 2)(x – 2) + 1

我们就可以利用平方差公式简化为：

x² – 4 + 1 = x² – 3

2. 作为方程：寻找根的旅程

如果我们将 x² – 1 赋予一个等号，让它等于 0，瞬间，它就变身成了一个方程：

x² – 1 = 0

解决这个方程，就是找到使等式成立的 x 的值，也就是所谓的“根”。我们可以利用因式分解：

(x + 1)(x – 1) = 0

要使两个数的乘积为 0，必须至少有一个数为 0。所以：

x + 1 = 0 或者 x – 1 = 0

解得：

x = -1 或者 x = 1

因此，方程 x² – 1 = 0 的根是 x = -1 和 x = 1。

3. 作为函数：图像的魅力

我们可以将 x² – 1 视为一个函数，记作：

f(x) = x² – 1

这是一个二次函数，它的图像是一条抛物线。 让我们从几个方面来分析：

• 开口方向： 由于 x² 的系数为正 (1 > 0)，所以抛物线开口向上。

• 对称轴： 函数 f(x) = x² – 1 的对称轴是 x = 0 (y轴)。这是因为函数只包含 x 的偶次项。

• 顶点： 顶点位于对称轴上，其 x 坐标为 0。将 x = 0 代入函数，得到 f(0) = 0² – 1 = -1。因此，顶点坐标为 (0, -1)。

• 与 x 轴的交点： 与 x 轴的交点，也就是函数的根。 我们已经知道，方程 x² – 1 = 0 的根是 x = -1 和 x = 1。所以，抛物线与 x 轴的交点是 (-1, 0) 和 (1, 0)。

• 与 y 轴的交点： 与 y 轴的交点，就是当 x = 0 时的函数值，也就是 f(0) = -1。所以，抛物线与 y 轴的交点是 (0, -1)。

通过以上分析，我们就可以大致描绘出函数 f(x) = x² – 1 的图像：一条开口向上，顶点位于 (0, -1)，与 x 轴交于 (-1, 0) 和 (1, 0) 的抛物线。

4. 扩展思考：不等式与应用

我们可以进一步考虑不等式 x² – 1 > 0 或 x² – 1 < 0。

• x² – 1 > 0: 等价于 (x + 1)(x – 1) > 0。 要使两个数的乘积为正，要么两个数都为正，要么两个数都为负。 因此，x > 1 或者 x < -1。

• x² – 1 < 0: 等价于 (x + 1)(x – 1) < 0。 要使两个数的乘积为负，必须一个数为正，一个数为负。 因此，-1 < x < 1。

这些不等式在解决一些实际问题中非常有用。例如，在物理中，它可以描述某些运动的范围；在经济学中，它可以描述利润的正负情况。

总结：

x² – 1 这个简单的表达式，可以从代数式、方程、函数等不同的角度进行分析和理解。它不仅是数学学习的基础，也是解决实际问题的工具。通过深入的剖析，我们能体会到数学的魅力，也更加体会到数学知识之间的联系与统一。 希望以上解答能帮助你更全面地理解 x² – 1。