直观求解：因式分解法

面对 x² - x - 2 = 0，最先想到的应该是因式分解。这是一种直观且高效的方法，尤其当方程形式简单时。我们需要寻找两个数，它们的乘积是 -2，和是 -1（x的系数）。

• 容易发现，这两个数是 -2 和 1。

因此，我们可以将原方程分解为：

(x - 2)(x + 1) = 0

这意味着要么 x - 2 = 0，要么 x + 1 = 0。

• 若 x - 2 = 0，则 x = 2。
• 若 x + 1 = 0，则 x = -1。

所以，这个方程的解是 x = 2 和 x = -1。这就是因式分解法，简单直接。

通用的方法：公式法

即使方程不容易分解，我们仍然可以使用公式法来解决。对于一般的二次方程 ax² + bx + c = 0，其解可以由以下公式给出：

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

对于我们的方程 x² - x - 2 = 0，有 a = 1，b = -1，c = -2。代入公式：

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * -2)) / (2 * 1)
x = (1 ± √(1 + 8)) / 2
x = (1 ± √9) / 2
x = (1 ± 3) / 2

因此：

• x = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
• x = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

结果和因式分解法完全一致，x = 2 和 x = -1。 公式法虽然看起来复杂一些，但是它可以解决任何二次方程，是一个万能钥匙。

图形化的理解：函数图像法

我们可以将方程 x² - x - 2 = 0 看作函数 f(x) = x² - x - 2。 这个函数是一个抛物线，方程的解就是抛物线与x轴的交点。

1. 抛物线的开口方向： 由于 x² 的系数为正（1），所以抛物线开口向上。

2. 顶点： 顶点的 x 坐标可以通过 -b / (2a) 计算，即 -(-1) / (2 * 1) = 1/2。 顶点的 y 坐标可以通过将 x = 1/2 代入函数计算得到： f(1/2) = (1/2)² - (1/2) - 2 = 1/4 - 1/2 - 2 = -9/4。 所以顶点坐标为 (1/2, -9/4)。

3. 与 y 轴的交点： 当 x = 0 时，f(0) = -2。所以，抛物线与 y 轴的交点是 (0, -2)。

4. 与 x 轴的交点： 通过以上方法解得两个交点为 x = 2 和 x = -1，即 (2, 0) 和 (-1, 0)。

想象一下，一条开口向上，顶点在 (1/2, -9/4) 的抛物线，它与 x 轴的交点就是方程的解。 这种图像化的方法有助于我们直观地理解方程的意义。

配方法：优雅的变形

配方法是一种将二次方程转化为完全平方形式的方法。 这种方法不仅可以求解方程，还可以帮助我们理解方程的结构。

1. 首先，将常数项移到方程的右边：x² - x = 2

2. 然后，在等式两边同时加上 (b / 2a)²，也就是 (-1 / 2)² = 1/4：x² - x + 1/4 = 2 + 1/4

3. 现在，方程的左边可以写成一个完全平方的形式：(x - 1/2)² = 9/4

4. 对等式两边取平方根：x - 1/2 = ±√(9/4) = ±3/2

5. 最后，解出 x：

   • x = 1/2 + 3/2 = 2
   • x = 1/2 - 3/2 = -1

结果仍然是 x = 2 和 x = -1。 配方法展示了二次方程可以转化为完全平方形式，从而简化求解过程。 这种方法比较优雅，但是需要一定的技巧。

总结

方程 x² - x - 2 = 0 有两个解，分别是 x = 2 和 x = -1。 我们通过因式分解法、公式法、图像法和配方法四种不同的方法求解了该方程。 每种方法都有其特点和适用场景，选择合适的方法可以更有效地解决问题。