cosx – sinx = ?

这看似一个简单的问题，实则蕴藏着多种解题思路和变形技巧，能很好地考察三角函数的基础知识和灵活运用能力。下面我们就用多种方法来探讨这个问题：

一、直接变形：引入辅助角

这是解决 a*sinx + b*cosx 类型问题的标准方法，也是最常用的技巧。

核心思路： 将 cosx - sinx 变形为 A*sin(x + φ) 或 A*cos(x + φ) 的形式，其中 A 是振幅，φ 是初相位。

具体步骤：

1. 提取系数： 将表达式写成 √2 * ( (1/√2) * cosx - (1/√2) * sinx )

2. 寻找特殊角： 注意到 1/√2 是 sin(π/4) 和 cos(π/4) 的值。

3. 构造和角公式： 可以写成两种形式：

   • √2 * (cos(π/4) * cosx - sin(π/4) * sinx) = √2 * cos(x + π/4)
   • √2 * (sin(π/4) * cosx - cos(π/4) * sinx) = √2 * sin(π/4 - x) = -√2 * sin(x - π/4)

所以，cosx - sinx = √2 * cos(x + π/4) = -√2 * sin(x - π/4)

这种方法的优势在于，可以将原式化简为一个标准的三角函数形式，方便求值域、周期、单调性等。

二、平方关系与三角恒等变换

这种方法略显复杂，但能巩固平方关系等基本公式。

思路： 先将原式平方，然后通过平方关系化简，最后开方。要注意开方时符号的讨论。

具体步骤：

1. 平方： (cosx - sinx)² = cos²x - 2sinxcosx + sin²x = 1 - 2sinxcosx = 1 - sin2x

2. 开方： √( (cosx - sinx)² ) = √(1 - sin2x) = |cosx - sinx|

3. 讨论符号： 由于开方得到的是绝对值，我们需要讨论 cosx - sinx 的正负：

   • 当 cosx - sinx ≥ 0 时， x ∈ [-3π/4 + 2kπ, π/4 + 2kπ] (k为整数)， cosx - sinx = √(1 - sin2x)
   • 当 cosx - sinx < 0 时， x ∈ (π/4 + 2kπ, -3π/4 + 2kπ) (k为整数)， cosx - sinx = -√(1 - sin2x)

这种方法虽然可以得到结果，但不如第一种方法简洁直接，且需要细致的符号讨论，容易出错。

三、图像法 (强烈推荐，直观易懂)

图像法是一种非常直观的方法，尤其是对于理解三角函数的性质很有帮助。

思路：分别画出 y = cosx 和 y = sinx 的图像，然后通过图像相减得到 y = cosx - sinx 的图像。

具体步骤：

1. 绘制图像： 在同一坐标系内绘制 y = cosx 和 y = sinx 的图像。

2. 图像相减： 对于每一个 x 值，找到 cosx 和 sinx 对应的 y 值，然后将 cosx 的 y 值减去 sinx 的 y 值，得到新的 y 值，这就是 cosx - sinx 在该 x 值下的函数值。

3. 描点连线： 将所有得到的点连接起来，就得到了 y = cosx - sinx 的图像。

从图像上可以清晰地看到：

• cosx - sinx 的图像也是一个正弦型曲线，周期为 2π。
• cosx - sinx 的最大值为 √2，最小值为 -√2。
• cosx - sinx 的图像相当于 y = √2 * cos(x + π/4) 的图像。

图像法最大的优点是直观，能够帮助我们理解三角函数的周期性、振幅、相位等概念。

四、利用导数 (高等数学视角)

如果掌握了导数，可以从导数的角度来分析这个问题。

思路：将 y = cosx - sinx 看作一个函数，求其导数，分析单调性和极值，从而了解函数的性质。

具体步骤：

1. 求导： y' = -sinx - cosx = -(sinx + cosx)

2. 分析单调性： 令 y' = 0，得到 sinx + cosx = 0，即 tanx = -1，解得 x = -π/4 + kπ (k为整数)。

3. 判断极值点：

   • 当 x = -π/4 + 2kπ 时，y' = 0 且 y'' = -cosx + sinx = -√2 < 0，所以是极大值点，极大值为 y = cos(-π/4 + 2kπ) - sin(-π/4 + 2kπ) = √2。
   • 当 x = 3π/4 + 2kπ 时，y' = 0 且 y'' = -cosx + sinx = √2 > 0，所以是极小值点，极小值为 y = cos(3π/4 + 2kπ) - sin(3π/4 + 2kπ) = -√2。

4. 总结： 通过导数分析，我们可以得到 y = cosx - sinx 的单调区间、极值点和最值，从而对函数有更深入的了解。

总结：

cosx - sinx = √2 * cos(x + π/4) = -√2 * sin(x - π/4)

同时，我们也要掌握图像法和导数分析的方法，从不同的角度理解三角函数，这样才能更好地解决相关问题。不同的方法，不同的视角，让你对三角函数有更深刻的理解。希望这篇文章能帮助你彻底理解 cosx - sinx 这个问题！