sinx – cosx 等于什么？这要分情况讨论！
sinx – cosx 本身是一个三角函数表达式，并没有固定的值。我们需要进行变换或者结合具体条件才能给出有意义的答案。下面我们将从不同角度进行分析：
1. 最基本的情况：作为函数表达式
sinx – cosx 仅仅是一个关于 x 的函数表达式，可以记作 f(x) = sinx – cosx。 它的值会随着 x 的变化而变化。 所以，在没有给定 x 的具体数值或者范围的情况下， sinx – cosx 只是一个表达式，不能给出一个具体的数值。
2. 恒等变换：化简与变形
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目标：将 sinx – cosx 化成一个正弦或者余弦函数，方便分析其性质，例如振幅、周期、相位等。
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方法：利用辅助角公式。
我们需要找到一个角度 φ，使得：
sinx – cosx = A sin(x + φ) 或 sinx – cosx = A cos(x + φ)
这里 A 是振幅。
通常，我们选择化成正弦函数：
sinx – cosx = √2 (sin(x) * (1/√2) – cos(x) * (1/√2))
观察 1/√2，我们知道 cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2。 所以：
sinx – cosx = √2 (sin(x) * cos(π/4) – cos(x) * sin(π/4))
利用正弦的差角公式： sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)
sinx – cosx = √2 sin(x – π/4)
结论： sinx – cosx = √2 sin(x – π/4)
同理，也可以化成余弦函数：
sinx – cosx = -√2 (cos(x) * cos(π/4) + sin(x) * sin(π/4))
利用余弦的差角公式： cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sinx – cosx = -√2 cos(x – π/4) = √2 cos(x + 3π/4)结论： sinx – cosx = √2 cos(x + 3π/4)
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重要结论总结:
- sinx – cosx = √2 sin(x – π/4)
- sinx – cosx = √2 cos(x + 3π/4)
从这两种形式可以看出，sinx – cosx 的振幅为 √2，周期为 2π。 化简后的形式更有利于研究其图像、最值、单调性等。
3. 特殊情况：给定 x 的值
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例如：x = 0
sinx – cosx = sin(0) – cos(0) = 0 – 1 = -1
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例如：x = π/2
sinx – cosx = sin(π/2) – cos(π/2) = 1 – 0 = 1
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例如：x = π/4
sinx – cosx = sin(π/4) – cos(π/4) = 1/√2 – 1/√2 = 0
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一般情况：对于给定的具体 x 值，直接代入计算即可。
4. 方程形式：sinx – cosx = c (c 为常数)
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目标：求解 x 的值
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方法：结合辅助角公式，将方程转化为三角函数的基本方程。
例如： sinx – cosx = 1
将左边化简为 √2 sin(x – π/4) = 1
则 sin(x – π/4) = 1/√2
令 t = x – π/4，则 sin(t) = 1/√2
解得 t = π/4 + 2kπ 或 t = 3π/4 + 2kπ (k 为整数)
所以， x = π/2 + 2kπ 或 x = π + 2kπ (k 为整数)
5. 与其他三角函数结合
sinx – cosx 可能会出现在更复杂的三角函数表达式中，例如：
- y = (sinx – cosx) / (sinx + cosx) 此时需要进一步化简。
- z = (sinx – cosx)^2 此时可以展开，利用平方关系简化。
需要具体问题具体分析，利用三角函数的各种公式进行化简。
6. 图像性质 (从函数角度理解)
函数 f(x) = sinx – cosx 的图像可以通过将 y = sinx 和 y = -cosx 的图像进行叠加得到。 图像呈正弦曲线形状，振幅为√2，相位向右平移了π/4。 可以通过观察图像来分析函数的性质，例如最大值、最小值、零点、单调区间等。
总结