复数乘复数，结果仍然是一个复数。更具体地说，如果 z₁ = a + bi 和 z₂ = c + di 是两个复数，其中 a, b, c, d 都是实数，那么它们的乘积 z₁z₂ 可以计算如下：

公式：

z₁z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

是不是有点眼花缭乱？ 别怕，我们一步步拆解！

基本原理：像乘多项式一样！

你可以像乘两个多项式一样展开这个表达式：

• (a + bi)(c + di) = ac + a(di) + (bi)c + (bi)(di)*

现在，把 i² = -1 代入：

• = ac + adi + bci + bdi²
• = ac + adi + bci – bd
• = (ac – bd) + (ad + bc)i*

瞧！这就是我们的公式。 实部是 ac – bd，虚部是 ad + bc。

例子：数字说话

让我们用具体的数字来演示一下：

假设 z₁ = 2 + 3i 和 z₂ = 1 – i

那么，

z₁z₂ = (2 + 3i)(1 – i) = (2 * 1 – 3 * (-1)) + (2 * (-1) + 3 * 1)i = (2 + 3) + (-2 + 3)i = 5 + i

所以，(2 + 3i)(1 – i) = 5 + i。

几何意义：旋转与伸缩

复数乘法不仅仅是代数运算，它还有深刻的几何意义。 将一个复数乘以另一个复数，相当于在复平面上对第一个复数进行 旋转 和 伸缩。

• 伸缩： 乘积的模等于两个复数模的乘积。 也就是说，|z₁z₂| = |z₁| * |z₂|。 如果 |z₂| > 1，相当于把 z₁ 伸长；如果 |z₂| < 1，相当于把 z₁ 缩短。

• 旋转： 乘积的辐角等于两个复数辐角的和。 也就是说，arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)。 这相当于把 z₁ 逆时针旋转 arg(z₂) 角度。

想象一下，你有一个指向某个方向的箭头（代表一个复数），然后你用另一个复数去“操作”它。 这个操作既会改变箭头的长度（伸缩），也会改变箭头的方向（旋转）。

不同形式下的复数乘法：极坐标的威力

除了标准形式 a + bi，复数还可以用极坐标形式表示：r(cos θ + i sin θ)，其中 r 是模，θ 是辐角。

使用极坐标形式进行乘法运算更加简洁：

如果 z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) 和 z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂)，那么：

z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

这个公式简洁地表达了前面提到的几何意义：模相乘，辐角相加。 你可以用三角函数公式验证这个公式，证明过程稍微复杂，但结果非常漂亮！

总结：记忆要点与应用

• 公式： (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
• 原理： 像多项式一样展开，然后使用 i² = -1
• 几何： 旋转 + 伸缩
• 极坐标： 模相乘，辐角相加

复数乘法在很多领域都有应用，包括：

• 电路分析： 交流电路中，可以用复数表示电压和电流，复数乘法简化了计算。
• 量子力学： 波函数是复数，计算概率需要用到复数乘法。
• 信号处理： 傅里叶变换涉及到复数运算。
• 计算机图形学： 矩阵可以表示旋转和缩放，而矩阵中的元素可以是复数。

理解复数乘法，就打开了一扇通往更深层次数学和物理世界的大门。 所以，好好掌握它吧！