0。
这个答案简单得令人难以置信，但它却是数学中的一个基石。为了真正理解“任何数乘以零等于零”，我们需要从多个角度去审视它，如同从各个角度观察一颗钻石，才能领略它的光辉。
1. 直观理解：重复相加
最直接的方式是将其理解为重复相加。乘法本质上就是一种简化的加法。例如，3 × 4 意味着将 4 加 3 次，即 4 + 4 + 4 = 12。
那么，3 × 0 呢？这意味着将 0 加 3 次，即 0 + 0 + 0 = 0。 同样地，100 × 0 = 0 + 0 + … + 0（100个0相加）= 0。 甚至 (-5) × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0。 无论加多少次，结果永远是0。
2. 模式观察：数列的延续
我们可以观察一系列乘法运算，并从中发现规律：
- 3 × 3 = 9
- 3 × 2 = 6
- 3 × 1 = 3
- 3 × 0 = ？
每一次，当我们将乘以的数字减小 1，结果就减小 3。延续这个模式，当我们将乘以的数字从 1 减小到 0，结果也应该减小 3，即从 3 减小到 0。
3. 分配律：更严谨的证明
分配律是数学中一个强大的工具，它能帮助我们更严谨地证明这个结论。分配律指出：a × (b + c) = a × b + a × c。
现在，让我们设 b = 0。 那么，a × (0 + c) = a × 0 + a × c。
因为 0 + c = c，所以等式左边变为 a × c。 于是，我们得到 a × c = a × 0 + a × c。
为了使这个等式成立，a × 0 必须等于 0。 只有这样，等式才能简化为 a × c = 0 + a × c，最终得到 a × c = a × c， 证明成立。
4. 反证法：另一种角度
假设存在一个数 a (a ≠ 0) 使得 a × 0 ≠ 0。 那么，我们假设 a × 0 = x (x ≠ 0)。
如果 a × 0 = x (x ≠ 0)，那么 a × 0 必定可以被 a 整除。 即 (a × 0) / a = x / a。
左边简化为 0 / a = 0。 所以，0 = x / a。 要使等式成立，x 必须等于 0。
这与我们最初的假设 x ≠ 0 相矛盾。 因此，我们的假设是错误的，不存在一个非零数 a 使得 a × 0 ≠ 0。 所以，任何数乘以零必须等于零。
5. 集合论角度：空集的力量
在集合论中，乘法可以被理解为集合的笛卡尔积的大小。 例如，A 集合有 3 个元素，B 集合有 4 个元素，A × B (笛卡尔积) 包含 3 × 4 = 12 个元素。
如果 B 集合是空集（没有任何元素），那么 A × B 也将是空集，包含 0 个元素。 这再次说明任何数乘以 0 等于 0。
总结：0 的特殊性
零是一个非常特殊的数字。它代表着“无”，代表着不存在。无论你将多少个“无”加在一起，结果仍然是“无”。 正因为如此，任何数乘以零都等于零，这不仅是一个数学规则，更是一种对“空无”本质的深刻体现。 这个看似简单的规则，在数学的各个领域都扮演着重要的角色，是理解更复杂概念的基石。