1111111乘以1111111，也即 1111111²，答案是 1234567654321。

让我们从几个角度剖析一下这个神奇的数字。

1. 直接计算与观察

当然，最直接的方法是拿出计算器，输入1111111 * 1111111，结果自然是1234567654321。 然而，如果仅仅停留在计算器上，就错过了这道题的趣味所在。 仔细观察，这个结果呈现出非常优美的对称性：从1开始递增到7，然后递减回1，形成一个金字塔形状。

2. 从简单的例子入手

为了理解这个现象背后的原因，我们可以从更简单的例子开始：

• 1 * 1 = 1
• 11 * 11 = 121
• 111 * 111 = 12321
• 1111 * 1111 = 1234321
• 11111 * 11111 = 123454321
• 111111 * 111111 = 12345654321

规律逐渐显现：当乘数和被乘数都是由 n 个 1 组成时，结果就是从 1 递增到 n，再递减回 1。

3. 数学原理：多项式展开

可以用多项式展开来解释这个现象。 以111 * 111为例：

111 * 111 = (100 + 10 + 1) * (100 + 10 + 1)

= 100100 + 10010 + 1001 + 10100 + 1010 + 101 + 1100 + 110 + 1*1

= 10000 + 1000 + 100 + 1000 + 100 + 10 + 100 + 10 + 1

= 10000 + 2000 + 300 + 20 + 1

= 12321

当展开到 1111111 * 1111111 时， 每一项的系数都会逐渐增加，直到达到最大值7，然后对称地减少。

4. 进位问题 (关键点!)

但是要注意，这个规律并不是无限适用的。 当乘数/被乘数 超过9个1时，就会产生进位，破坏这个对称的结构。

例如： 1111111111 * 1111111111 就不再是 12345678910987654321 了。

5. 趣味拓展

除了直接计算，还可以尝试用编程语言验证这个结果。 例如，用 Python 或者 JavaScript，可以很方便地得到答案。

总结

1111111 * 1111111 = 1234567654321， 这个结果看似简单，却蕴含着数学之美。 通过简单的例子，多项式展开，以及对进位的分析，我们可以更好地理解这个数字背后的规律。 希望这个多角度的讲解能让你对这个问题有更深刻的理解。