空集乘以任何集合的结果仍然是空集。 这个问题看似简单，实则蕴含着集合论深层的逻辑。为了彻底理解它，我们可以从不同角度来剖析：

1. 从笛卡尔积的定义入手：

“乘以”在集合论中通常指的是笛卡尔积，记作 A × B。 笛卡尔积是指由集合 A 中的元素和集合 B 中的元素组成的所有有序对 (a, b) 的集合。

A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

那么，空集 ∅ 和任何集合 S 的笛卡尔积 ∅ × S 是什么呢？ 按照定义，∅ × S 是所有形如 (a, s) 的有序对的集合，其中 a ∈ ∅，s ∈ S。

关键在于，空集 ∅ 中没有任何元素。 因此，不存在任何 a 可以满足 a ∈ ∅。 既然不存在这样的 a，也就无法构造任何形如 (a, s) 的有序对。

所以，∅ × S = { } = ∅

同样，S × ∅ 也是空集。 理由类似，不存在任何 s ∈ ∅，因此也无法构造任何有序对 (s, a) 。

2. 用集合论的语言证明：

我们试图证明 ∅ × S = ∅。 要证明两个集合相等，需要证明互相包含。

• 证明 ∅ × S ⊆ ∅： 这是显然的。 ∅ 是所有集合的子集，所以 ∅ × S 必然是 ∅ 的子集。

• 证明 ∅ ⊆ ∅ × S： 我们需要证明，对于任意元素 x，如果 x ∈ ∅，则 x ∈ ∅ × S。 然而，由于 ∅ 中没有任何元素，所以 “x ∈ ∅” 永远是假的。 在逻辑学中，前提为假的蕴含式永远为真。 因此，蕴含式 “如果 x ∈ ∅，则 x ∈ ∅ × S” 为真。 所以，∅ ⊆ ∅ × S。

综上，我们证明了 ∅ × S ⊆ ∅ 且 ∅ ⊆ ∅ × S， 因此 ∅ × S = ∅。

3. 类比于乘法运算：

或许你会想，为什么空集乘以任何集合都等于空集？ 这可以类比于我们熟悉的算术乘法。 数字 0 乘以任何数都等于 0。 在集合论中，空集扮演着类似于数字 0 的角色，是集合论中的“零元”。 这种类比有助于理解空集在集合运算中的特殊地位。

4. 从反证法的角度思考：

假设存在一个集合 S，使得 ∅ × S ≠ ∅。 这意味着存在一个有序对 (a, s)，使得 (a, s) ∈ ∅ × S。 根据笛卡尔积的定义，这意味着 a ∈ ∅ 且 s ∈ S。 但是，a ∈ ∅ 是不可能的，因为空集不包含任何元素。 这就产生了矛盾。 因此，假设不成立，所以 ∅ × S 必须等于 ∅。

5. 实际例子：

假设 S = {1, 2}。 那么 ∅ × S 表示从空集中取一个元素，再从 {1, 2} 中取一个元素，组成有序对的所有可能性。 但是，由于空集没有元素可取，因此根本无法构建任何有序对。 结果仍然是空集。

总结：

空集乘以任何集合（即，与任何集合进行笛卡尔积）的结果都是空集。 这源于笛卡尔积的定义以及空集本身不包含任何元素的特性。 从逻辑证明、类比算术乘法、反证法以及实际例子等多个角度分析，都能清晰地说明这一结论的正确性。