C(n, 0) 等于 1。

为了彻底理解这一点，我们从多个角度出发，层层剖析：

1. 组合数的定义：

组合数 C(n, k)（也写作 “n choose k”）表示从 n 个不同的元素中选取 k 个元素的方法数，不考虑选取顺序。 数学公式为：

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

其中，”!” 表示阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。

当 k = 0 时，我们要求的是从 n 个元素中选取 0 个元素的方法数。

2. 直接代入公式：

将 k = 0 代入组合数公式，得到：

C(n, 0) = n! / (0! * (n-0)!)
= n! / (0! * n!)

这里需要强调一个重要的约定：0! = 1。 这是一个定义，而非推导。 有了这个定义，上述式子简化为：

C(n, 0) = n! / (1 * n!)
= 1

3. 实际意义解释：

• 什么都不选也是一种选择： 想象你面前有 n 件物品，让你从中选取 0 件物品。 你确实做到了选择——你选择了什么都不拿。 这种“什么都不选”只有一种方法。

• 空集的概念： 从一个包含 n 个元素的集合中选取 0 个元素，实际上是构成了一个空集。 任何集合只有一个空子集，所以方法数为 1。

4. 一个例子：

假设你有 3 个苹果（A、B、C），让你从中选取 0 个苹果。 那么你有多少种选择？ 答案只有一种：什么都不选。 因此，C(3, 0) = 1。

5. 递归角度：

组合数还存在一个递归公式：

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

当 k = 0 时，这个公式可以写成：

C(n, 0) = C(n-1, -1) + C(n-1, 0)

为了使这个公式有意义，我们需要定义 C(n, -1) = 0 (从 n 个元素中选 -1 个元素，显然不可能)。 因此：

C(n, 0) = 0 + C(n-1, 0)
C(n, 0) = C(n-1, 0)

以此类推，最终得到：

C(n, 0) = C(0, 0)

根据组合数的定义，C(0, 0) = 0! / (0! * 0!) = 1 / (1 * 1) = 1。

6. 二项式定理：

二项式定理是说：

(x + y)^n = Σ [C(n, k) * x^(n-k) * y^k] (其中 k 从 0 到 n)

如果我们令 x = 1, y = 0，那么：

(1 + 0)^n = Σ [C(n, k) * 1^(n-k) * 0^k] (其中 k 从 0 到 n)

1^n = C(n, 0) * 1^n * 0^0 + C(n, 1) * 1^(n-1) * 0^1 + … + C(n, n) * 1^0 * 0^n

1 = C(n, 0) * 1 * 1 + 0 + 0 + … + 0 (因为当 k > 0 时，0^k = 0, 并且 0^0 = 1)

1 = C(n, 0)

因此，C(n, 0) = 1。

总结：

无论是从组合数的定义、实际意义、递归公式，还是二项式定理的角度来看，C(n, 0) 始终等于 1。 记住“什么都不选也是一种选择”，就很容易理解这个概念了。