5050
这不仅仅是一个简单的算术题，它蕴含着数学之美，也承载着历史的回响。答案是5050，但更重要的是理解这个答案背后的故事和方法。
方法一：高斯速算法 – 优雅的对称
相传，小学时的高斯被老师要求计算从1加到100。当其他孩子还在埋头苦算时，高斯发现了其中的规律：
- 1 + 100 = 101
- 2 + 99 = 101
- 3 + 98 = 101
… - 50 + 51 = 101
他注意到，将首尾两两相加，每次的结果都是101。总共有50对这样的数字。因此，总和就是 50 * 101 = 5050。
这种方法巧妙地利用了对称性，避免了繁琐的逐个相加，展现了数学思维的简洁和高效。
方法二：等差数列求和公式 – 普适的公式
这道题本质上是一个等差数列求和的问题。等差数列是指相邻两项之间的差值保持不变的数列 (在这个例子中，差值为1)。 等差数列求和公式是：
S = (n/2) * (a1 + an)
其中：
- S = 数列的和
- n = 数列中项的个数
- a1 = 数列的第一项
- an = 数列的最后一项
对于从1加到100：
- n = 100
- a1 = 1
- an = 100
所以，S = (100/2) * (1 + 100) = 50 * 101 = 5050
这个公式不仅适用于从1加到100，还适用于任何等差数列的求和，是一种更具普适性的方法。
方法三：编程实现 – 计算机的效率
如果让你用计算机解决这个问题，你可以使用循环语句：
“`python
sum = 0
for i in range(1, 101):
sum += i
print(sum) # 输出 5050
“`
这段简单的Python代码通过循环遍历1到100的每一个数字，并将它们累加到变量sum中，最终得到结果。 这展示了计算机解决重复性、大规模计算的强大能力。
方法四：数学归纳法 – 严谨的证明
虽然计算出了结果，但我们如何确定这个方法是正确的呢？ 可以使用数学归纳法进行证明：
- 基础情况： 当 n = 1 时，1 = (1 * (1 + 1)) / 2 = 1。公式成立。
- 归纳假设： 假设当 n = k 时，1 + 2 + … + k = (k * (k + 1)) / 2 成立。
-
归纳步骤： 当 n = k + 1 时，我们要证明 1 + 2 + … + k + (k + 1) = ((k + 1) * (k + 2)) / 2 成立。
左边 = (1 + 2 + … + k) + (k + 1)
= (k * (k + 1)) / 2 + (k + 1) (根据归纳假设)
= (k * (k + 1) + 2 * (k + 1)) / 2
= ((k + 1) * (k + 2)) / 2
= 右边
因此，当 n = k + 1 时，公式也成立。
根据数学归纳法原理，公式对于所有正整数 n 都成立。
总结：
从1加到100等于5050。 解决这个问题的方法有很多种，每一种方法都体现了不同的数学思想和解决问题的思路。 高斯的巧妙观察、等差数列公式的普适性、计算机的计算效率以及数学归纳法的严谨证明，都让我们更深入地理解了数学的魅力。