正无穷（+∞）和负无穷（-∞）相加，在实数范围内，没有明确的定义，结果是未定义的。 这是理解这个问题的关键。 它不是一个简单的加法运算，涉及到极限的概念。

让我们从几个角度来理解这个问题：

1. 实数轴的角度:

在实数轴上，正无穷代表无限增大的方向，负无穷代表无限减小的方向。它们本身不是实数，而是一种“趋近于”某个方向的概念。 因此，直接将它们相加，就如同试图将两个方向“加起来”，在实数范围内没有对应的结果。你可以想象，一个方向越来越远，另一个方向也越来越远，它们的总和是什么？无法确定。

2. 极限的角度（更严谨的数学视角）：

在数学分析中，我们通常使用极限来处理无穷的概念。 当讨论涉及无穷的运算时，需要考虑具体的极限表达式。

• 情况一： 极限的形式确定

  • 例如：lim (x→∞) x + lim (x→∞) -x ，虽然每一项都趋近于无穷，但我们可以将其合并为 lim (x→∞) (x – x) = lim (x→∞) 0 = 0。 在这个特定情况下，结果是0。

• 情况二： 极限的形式不确定（不定式）

  • 例如：lim (x→∞) (x^2 – x) 和 lim (x→∞) (x – x^2)。 前者趋近于正无穷，后者趋近于负无穷。 形式都是 ∞ – ∞， 结果却不同。
  • 更一般地，∞ – ∞ 被认为是一种不定式。 不定式是指极限运算中，如果代入极限值后得到的形式无法直接确定极限值，比如 0/0, ∞/∞, ∞ – ∞, 0 * ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 等。 对于这些不定式，我们需要使用洛必达法则、泰勒展开或其他技巧来进一步分析，才能确定极限是否存在以及它的值。

3. 比喻的角度（通俗易懂）：

假设你欠了无限多的钱（-∞），同时又拥有无限多的钱（+∞）。 你最终还剩下多少钱？ 这取决于你如何定义这个“无限多”。 如果你还债的速度和赚钱的速度一样快，那么你可能最终保持收支平衡 (结果可能是 0) 。 但如果你欠债的速度远远超过赚钱的速度，那你最终还是欠了无限多的钱 (结果可能是 -∞)。 反之，如果你赚钱的速度远远超过还债的速度，那你最终就拥有了无限多的钱 (结果可能是 +∞)。 因此，单纯地说“无限多减去无限多”，无法得到一个确定的结果。

4. 黎曼球的角度（拓展视角）：

在复分析中，我们常常使用黎曼球面。 在黎曼球面上，我们将无穷远点视为一个点，记作∞。 但需要注意的是，这个∞不是指正无穷或负无穷，而是指“远离原点，趋向无穷远”的 方向 。 黎曼球面主要用于复数的运算，与实数范围内的正负无穷的加法问题关联不大。 即使在黎曼球面上，直接说 ∞ + (-∞) 也没有明确的定义。 黎曼球面更多的是提供了一种理解“无穷”的几何视角，而非直接解决实数加法问题。

总结：

正无穷加负无穷，在实数范围内，是未定义的。 它是一个不定式，只有在特定的极限表达式中，通过具体的分析才能确定其结果。 它强调了极限的概念，也提醒我们，对于无穷的运算需要谨慎对待，不能简单地套用有限数的运算规则。