1 + 1 + 2 + 3 + … + 100 = ?

这个问题乍一看像个等差数列，但仔细观察你会发现，它实际上是斐波那契数列的一个变种，再加上了一些简单的求和。要解决它，我们需要先弄清楚数列的结构，再找到合适的计算方法。

一、数列拆解与分析

让我们把数列拆开，以便更清晰地看到它的本质：

• 1 + 1：这是斐波那契数列的开头两个数字。
• 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89: 这是斐波那契数列的延续，直到小于等于100的最大数字。
• 剩余数字: 加上斐波那契数列以后，剩余的数字是90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

二、斐波那契数列求和

斐波那契数列有一个非常漂亮的性质：前 n 项的和等于第 n+2 项减 1。

简单证明如下：

F(1) = F(3) – F(2) = F(3) – 1
F(2) = F(4) – F(3)
F(3) = F(5) – F(4)
…
F(n) = F(n+2) – F(n+1)

所有等式左边加起来就是F(1)+F(2)+…+F(n)，所有等式右边加起来是F(3) – 1 + F(4) – F(3) + F(5) – F(4) + … + F(n+2) – F(n+1)。除了-1和F(n+2)以外，其他项都抵消掉了，所以F(1)+F(2)+…+F(n) = F(n+2) – 1

在这个例子中，我们的斐波那契数列为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。一共11项。因此，我们需要找到斐波那契数列的第13项。

• 第12项：55 + 89 = 144
• 第13项：89 + 144 = 233

所以，斐波那契数列部分的和为233 – 1 = 232。

三、剩余数字求和

剩下的数字是90到100的连续整数。 我们可以使用等差数列求和公式：

和 = (首项 + 末项) * 项数 / 2

在这个例子中：

和 = (90 + 100) * 11 / 2 = 190 * 11 / 2 = 1045

四、总和计算

最后，将两部分的结果加起来：

总和 = 斐波那契数列和 + 剩余数字和

总和 = 232 + 1045 = 1277

五、更简洁的解法(等差数列+斐波那契数列前两项补全法)

我们实际上可以稍微调整一下思路，使得计算更加简洁。

原数列可以看做：
1 + 1 + 2 + 3 + … + 89 + 90 + … + 100

可以看成两个部分：

• 斐波那契数列：1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89
• 等差数列: 90 + 91 + … + 100

等差数列的求和我们上面已经计算过了，是1045。
现在问题变成如何更加快速地计算斐波那契数列的和。

我们知道斐波那契数列的第11项是89，那么我们需要求斐波那契数列的前11项和。上面我们已经推导过了，前n项和等于第n+2项 – 1。

第12项 = 55 + 89 = 144
第13项 = 89 + 144 = 233

前11项和 = 233 – 1 = 232

最后，总和= 1045 + 232 = 1277

六、最终答案

因此，1 + 1 + 2 + 3 + … + 100 = 1277