答案：29
接下来，我们用各种方法来证明和理解为什么15² – 14² = 29。
方法一：直接计算法
这是最简单粗暴的方法。
- 15² = 15 * 15 = 225
- 14² = 14 * 14 = 196
- 225 – 196 = 29
方法二：平方差公式
这是更优雅，更快捷的方法。平方差公式是代数中的一个重要公式：
a² – b² = (a + b)(a – b)
应用到我们的问题中：
- 15² – 14² = (15 + 14)(15 – 14)
- = (29)(1)
- = 29
方法三：图形理解（几何意义）
想象一个边长为15的正方形，它的面积是15²。现在，从这个正方形中挖去一个边长为14的小正方形，小正方形与大正方形共用一个角。 剩余部分的面积就是15² – 14²。
剩余部分可以看作是一个L形。 我们将L形切割成两个矩形：
- 一个矩形的长为15，宽为1 (15-14)。面积是 15 * 1 = 15
- 另一个矩形的长为14，宽为1 (15-14)。面积是 14 * 1 = 14
L形的总面积就是两个矩形面积之和：15 + 14 = 29
方法四：数列与递推
考虑数列 n² – (n-1)²。 当 n = 15 时， 就有15² – 14²。
让我们展开这个表达式：
n² – (n-1)² = n² – (n² – 2n + 1) = 2n – 1
所以，15² – 14² = 2 * 15 – 1 = 30 – 1 = 29
更一般地，对于任意整数n， n² – (n-1)² 总是等于2n-1。 这表明，两个相邻整数的平方差，总是等于较大的那个整数的两倍减一。
总结
无论采用哪种方法，我们都得到了相同的结果：15² – 14² = 29。 平方差公式是最简洁有效的方法。理解其几何意义有助于更深入地把握这个数学关系。