|x – 1| 等于多少？ 这个问题看似简单，实则需要分情况讨论。因为绝对值的核心在于消除符号，只保留数值的大小。
一、 概念回顾：什么是绝对值？
绝对值，用两竖线”|”包裹着一个数或表达式，表示该数到零的距离。记住，距离永远非负。所以，|a| 始终 ≥ 0。
具体来说：
- 如果 a 是正数，那么 |a| = a。例如，|5| = 5。
- 如果 a 是负数，那么 |a| = -a。例如，|-5| = -(-5) = 5。
- 如果 a 是零，那么 |a| = 0。例如，|0| = 0。
二、 解决 |x – 1| 问题：分情况讨论
对于 |x – 1|，我们需要根据 (x – 1) 的正负性进行讨论：
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情况一：(x – 1) ≥ 0，即 x ≥ 1
在这种情况下，(x – 1) 本身就是非负数，所以绝对值符号可以直接去掉：
|x – 1| = x – 1 (当 x ≥ 1)
举例： 如果 x = 3，那么 |3 – 1| = |2| = 2，确实等于 3 – 1。
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情况二：(x – 1) < 0，即 x < 1
在这种情况下，(x – 1) 是负数，为了让结果为正数，我们需要取它的相反数：
|x – 1| = -(x – 1) = 1 – x (当 x < 1)
举例： 如果 x = 0，那么 |0 – 1| = |-1| = 1，确实等于 1 – 0。
三、 总结：答案的两种形式
综上所述，|x – 1| 的值取决于 x 的大小：
|x – 1| =
{
x – 1, 如果 x ≥ 1
1 – x, 如果 x < 1
}
四、 图形化理解：数轴上的距离
想象一条数轴。|x – 1| 可以理解为数 x 到数 1 的距离。
- 如果 x 在 1 的右边（x ≥ 1），那么距离就是 x – 1。
- 如果 x 在 1 的左边（x < 1），那么距离就是 1 – x。
这种图形化的理解方式有助于你更直观地记住这两种情况。
五、 应用场景：解决更复杂的问题
理解了 |x – 1| 的本质，就可以应用到更复杂的问题中，例如：
- 解不等式：|x – 1| < 2 （表示 x 到 1 的距离小于 2，解得 -1 < x < 3）
- 函数图像：y = |x – 1| 的图像是一个以 (1, 0) 为顶点的 V 字形。
六、 总结一下
记住，解决绝对值问题的关键是 分类讨论。 找到绝对值内部表达式为正、负和零的临界点，分别考虑每种情况，问题就能迎刃而解。 对于 |x – 1|，临界点就是 x = 1。