1. 方程的根：韦达定理的登场
已知 a² – 5a + 1 = 0。这是一个一元二次方程，标准的解法当然是求根公式，但我们先别急，用韦达定理来看看。韦达定理告诉我们，对于一个形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其两个根 x₁ 和 x₂ 满足：
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁ * x₂ = c/a
在本例中，a=1, b=-5, c=1。假设方程有两个根 a₁ 和 a₂ (a是其中一个根，为了区分，这里用a₁和a₂代表两个根）。那么：
- a₁ + a₂ = -(-5)/1 = 5
- a₁ * a₂ = 1/1 = 1
这意味着，如果我们找到了其中一个根 (也就是题中的 a)，那么另一个根也很容易通过上述关系得到。 更重要的是， a₁ * a₂ = 1 立刻告诉我们 a₂ = 1/a，而a+1/a=5。这个结论后面会很有用。
2. 求解方程：求根公式显神威
当然，最直接的办法还是使用求根公式。 对于方程 ax² + bx + c = 0，其根为：
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
代入 a=1, b=-5, c=1，得到：
a = (5 ± √( (-5)² – 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)
a = (5 ± √(25 – 4)) / 2
a = (5 ± √21) / 2
所以，a 的两个可能取值为：
a₁ = (5 + √21) / 2
a₂ = (5 – √21) / 2
请注意，a₂ = 1/a₁。
3. 探索表达式：奇妙的代数变换
题目如果没给出具体求a的值，而是要求解包含 a 的表达式的值，那么上面a的值可能就用不上了，接下来我们进行一些代数变换，看看能够得到什么。
由于 a² – 5a + 1 = 0，且 a ≠ 0 (因为如果 a=0，则 1=0，矛盾)，我们可以将方程两边同时除以 a，得到：
a – 5 + 1/a = 0
a + 1/a = 5
这个关系非常重要，它可以简化很多包含 a 和 1/a 的表达式。 例如：
- a² + 1/a² = (a + 1/a)² – 2 = 5² – 2 = 23
- a³ + 1/a³ = (a + 1/a)(a² – 1 + 1/a²) = 5 * (23 – 1) = 110
类似的，我们可以用这个关系来简化更复杂的表达式。
4. 应用：解决具体问题
假设题目问：求 a⁴ + 1/a⁴ 的值。
我们可以利用 a² + 1/a² = 23 这个结果：
a⁴ + 1/a⁴ = (a² + 1/a²)² – 2 = 23² – 2 = 529 – 2 = 527
假设题目问：求 a – 1/a 的值。
由于 (a – 1/a)² = a² – 2 + 1/a² = (a² + 1/a²) – 2 = 23 – 2 = 21，所以：
a – 1/a = ±√21
具体取正还是取负，取决于 a 的取值。(5 + √21) / 2 – 2/(5+√21) = √21 > 0, (5 – √21) / 2 – 2/(5-√21) = -√21 <0。
5. 总结：灵活运用，举一反三
总结一下，解决这类问题的关键在于：
- 理解韦达定理： 从方程的系数直接获得根之间的关系。
- 熟练掌握求根公式： 这是求解方程的通用方法。
- 灵活运用代数变换： 将表达式变形，利用已知条件简化计算。 特别注意a + 1/a = 5 这个关系！
- 具体问题具体分析： 根据题目要求，选择合适的解题方法。
- 仔细检查： 避免计算错误。
希望以上分析能够帮助你彻底理解并解决类似的问题。